Elementy logiki - zadanie 1 marność: Zadanie 1. Niech A, B ⊆ R i f: A → B dana jest wzorem f(x) = x² dla x ∊ A. Funkcja f jest różnowartościowo dla a) A = ℤ, B = R b) A = R, B = [0, +∞) c) A = R₊, B = R₊ d)A = {x ∊ R : x² = 1} Czy prawidłową odpowiedzią jest c?

marność: Zadanie 2. Niech A = {1, 2}. Wtedy a) A ⊆ P(A) b) P({1}) ∊ P(A) c) A∩P(A) = ∅ d) {0} ∊ P(A) Tutaj waham się pomiędzy odpowiedzią b i d

marność: Zadanie 3. Niech A_n = {x ∊ R : x² < ¹_n } dla n ∊ ℕ₊. Wtedy ∩^∞_n=1 A_n jest równe a) 0 b) ∅ c) (−1,1) d) {0} Czy prawidłową odpowiedzią jest a?

ite: Zacznij od wypisania elementów zbiorów P(A) i P({1}).

ite: pytanie z 21:14 dotyczy zad.2

ite: W zadaniu 3 zacznij od wypisania jak wyglądają zbiory A₁, A₂ i A₃ . Łatwiej wtedy ustalić, co jest ich częścią wspólną.

marność: Zadanie 2. A = {1, 2} P(A) = { ∅, {1}, {2}, {1,2} } P({1}) = { ∅, {1} } Oki, już widzę. D odpada, czyli prawidłowa jest odpowiedź B.

marność: Zadanie 3. A₁ = (−1, 1)

	√2		√2
A2 = (−		,		)
	2		2

	√3		√3
A3 = (−		,		)
	3		3

A₄ = (−¹₂, ¹₂)

	√5		√5
A5 = (−		,		)
	5		5

Kolejne przedziały są od siebie mniejsze i zbliżają się obustronnie do 0, więc iloczynem zbiorów będzie 0?

ite: d/ rzeczywiście odpada, ale dlaczego P({1}) ∊ P(A)? Czy P({1}) jest elementem P(A) ?

ite: zad.3 iloczynem zapisanych zbiorów będzie zbiór

marność: Czyli w zad.3 wynikiem bedzie {0} Zadanie2. Faktycznie P({1}) nie jest elementem P(A). W takim wypadku na pewno odpadają opcje a,b,d i odpowiedzią byłoby c.

marność: Zadanie 4. Niech A_n = {x ∊ R : x² < ¹₂ } dla n ∊ N₊. Wtedy U^∞_n=1 A_n jest równe a) R b) {sinx : x ∊ (−^π₂, ^π₂)} c) [−1, 1] d) {0} Czy prawidłowa odpowiedzią jest b? (−1, 1)

ite: zad 4 tak

marność: Zadanie 5. Niech < A : n ∊ ℕ > będzie indeksowaną rodziną zbiorów, gdzie A₄ = R. Wtedy a) ∪_n∊ℕ A_n = R b) ∪_n∊ℕ A_n ≠ ∅ c) ∪_n∊ℕ A_n = ∅ d) ∪_n∊ℕ A_n = {R} Czy prawidłową odpowiedzią jest d? Dziękuję za dotychczasową pomoc

ite: Sumą tej rodziny zbiorów będzie suma zbioru R i pozostałych zbiorów. Ale to nie będzie zbiór, który by zawierał zbiór R.

marność: Rozumiem, powtórzę temat i odpowiem jutro. Życzę dobrej nocy.

ite: Trzeba jeszcze wziąć pod uwagę, że nie wiemy, jakie są elementy pozostałych zbiorów. Nie mamy informacji, czy te zbiory nie są puste, a jeśli nie są, to czy ich elementy należą do R czy nie. Jedyne co wiemy, że do sumy będzie należeć R.

ite: Dobrej nocy, zadania z logiki dobrze wpływają na sen. Przynajmniej taki z niej pożytek : )

marność: Oj tak, wyjątkowo dobrze mi się spało Wracając do zadania 5, wydaje mi się, że skoro A₄ = R i x ∊ ∪_t∊T A_t ⇔ ∃_t∊T x ∊ A_t, to chyba można założyć, że ∪_n∊ℕ A_n ≠ ∅ (czyli odpowiedź b) ?

marność: Zadanie 10. Dana jest funkcja f: [0, π] → R dana wzorem f(x) = sinx. Wtedy a) f jest ,,na" b) f nie jest ,,na" c) ← ∫ ({2}) ≠ ∅ d)f jest różnowartościowa Czy prawidłowa jest odpowiedź b?

marność: Zadanie 6. Niech <A : n ∊ ℕ> będzie indeksowaną rodzina zbiorów, gdzie A₄ ∩ A₇ = ∅. Wtedy a) ∩_n∊ℕ A_n = ∅ b) ∩_n∊ℕ A_n ≠ ∅ c) ∩_n∊ℕ A_n ⊆ R d) żadna z powyższych odpowiedzi nie jest prawdziwa Czy prawidłowa jest odpowiedź a?

marność: Prośba o pomoc w rozwiązaniu poniższych trzech zadań Zadanie 7. Niech A = { (x, Y) ∊ ℕ x P(R) : x ∊ Y }. Wtedy a) A jest funkcją różnowartościową b) A jest funkcją c) A nie jest funkcją d) D(A) = R Zadanie 8. Niech A = { (x,y) ∊ [0, 1] x [0, 1] : x ≥ y }. W porządku ([0, 1], A) a) 0 jest elementem maksymalnym b) 1 jest elementem maksymalnym c) 1 jest elementem największym d) nie istnieje element minimalny Zadanie 9. Dana jest funkcja f : R → P(R) dana wzorem f(x) = {x, −x} dla x ∊ R. Wtedy → f ({0, 1}) = a) {0, 1, −1} b) {{0}, {1, −1}} c) {{0}, {1}, {−1}} d) żadna z powyższych

ite: zad.5 OK, poprawna odpowiedź b) ∪_n∊ℕ A_n ≠ ∅ zad.6 też się zgadza, odpowiedź a) ∩_n∊ℕ A_n = ∅ Czy w punkcie c) zad. 10 chodzi o obraz lub przeciwobraz zbioru {2} ? W zad.9 też ma być obraz funkcji?

ite: W zad. 7 zacznij od wypisania kilku par uporządkowanych zgodnie z regułą (x, Y) ∊ ℕ x P(R) i jednocześnie x ∊ Y, np. dla n=1 i n=2. To pozwoli ocenić prawdziwość punktów a,b,c. W pkt d) trzeba pamiętać, że dziedzinę relacji czyli zbiór D(A) tworzą poprzedniki par (x, Y) i spojrzeć, z jakiego zbioru "pobieramy" te x−y.

marność: Tak w zadaniach 9−10 chodzi o obraz i przeciwobraz. Zadanie 7. Nie wiem, czy dobrze rozumiem, ale może to chyba wyglądać tak: n = 1 (1, 0) n = 2 (2, 0,002) n = 3 (3, 0,1) Teoretycznie a pasuje, bo każdemu argumentowi x ze zbioru ℕ można przyporządkować różną wartośc Odpowiedź d odpada. Nie wiem, jak zabrać się za podpunkty b i c (jeżeli założyć, że pary (1,2) i (1,7) należą do relacji, to c również by pasowało)

ite: W zad. 7 odpowiedź c/ oraz odpowiedzi a/ i b/ wykluczają się. Albo podana relacja jest funkcją albo nią nie jest. To trzeba rozstrzygnąć najpierw. Czy zapisana o 14:15 para (1, 0) jest jedyną należącą do podanej relacji, której poprzednikiem jest 1?

marność: Chyba nie, bo 1 możemy przypisać wiele różnych wartości

ite: Dopiero teraz zauważyłam błąd w zapisach par z tej relacji. Skoro A = { (x, Y) ∊ ℕ x P(R) : x ∊ Y }, to powinno być np. (1, {0,1}), (1, {1,√2 }), (1,

	1
{1,7}), (2, {0,002; 2}), (3, {0,		, 3}).
	3

Jest wiele (a konkretnie nieskończenie wiele) par o tym samym poprzedniku, więc podana relacja nie jest funkcją. Prawidłowa odpowiedź c/.

ite: Czy w zadaniu 9 chodzi o obraz funkcji, a w zad.10 c/ o przeciwobraz?

marność: Dziękuję, teraz już rozumiem (zadanie 7)

marność: Tak, w zdaniu 9 chodzi o obraz funkcji, a w 10 c/ o przeciwobraz.

marność: W zadaniu 9, prawidłowa będzie chyba odpowiedź c), bo: f(0) = {0}, a f(1) = {1, −1}

marność: Nie do końca wiem, jak podejść do zadania 8 :\

ite: zad.9 Dana jest funkcja f : R → P(R) dana wzorem f(x) = {x, −x} dla x ∊ R. Jeśli szukamy obrazu zbioru {0,1} czyli f({0, 1}), to trzeba obliczyć f(0) i f(1), a potem utworzyć zbiór, którego one będą elementami. zad.10 wybrana odpowiedź b/ jest poprawna.

ite: W 9 odp. b/, źle konstruujesz zbiór z dwóch poprawnych odpowiedzi. 8 wyjaśnię już wieczorem.

ite: Zad. 8 Niech A = { (x,y) ∊ [0, 1] x [0, 1] : x ≥ y }. W porządku ([0, 1], A) a) 0 jest elementem maksymalnym b) 1 jest elementem maksymalnym c) 1 jest elementem największym d) nie istnieje element minimalny Tak jak zawsze trzeba wypisać kilka par należących do tej relacji, np. (1, 1), (1, 1/2), (1, 1/3), (1, 0), (1/2, 1/2), (1/2, 0), (0, 0). c) Z definicji wynika, że w częściowo uporządkowanym zbiorze element największy i najmniejszy są porównywalne z każdym elementem zbioru P. Element najmniejszy jest poprzednikiem w każdej z takich par, największy jest następnikiem. Widać, że liczba 1 jest większa lub równa każdej liczbie z podanego przedziału [0, 1], więc jest poprzednikiem w parze z każdą inną liczbą. I tylko ona ma tę własność. Czyli jest elementem najmniejszym, odpowiedź c) jest niepoprawna. d) Element najmniejszy jest zawsze elem. minimalnym. Odp. d) niepoprawna. Czy widzisz już, który element w tym zbiorze jest największy?

marność: Czyli 1 jest elementem maksymalnym?

ite: 1 elementem najmniejszym a więc minimalnym. Poza 1 tylko 0 jest porównywalne z każdym elementem zbioru [0, 1]. W każdej z par jest następnikiem, więc 0 jest to element największy.

ite: O tym decyduje to, że właśnie 0 jest następnikiem w parach, tak został zdefiniowany element największy.

marność: Oki, rozumiem. W takim wypadku tylko odpowiedź a jest prawidłowa Dziękuję za pomoc

marność: Egzamin zaliczony na 4, jeszcze raz dziękuję za pomoc

ite: Super że się udało i to jeszcze na 4! Gratulacje