Warunek Lipschitza Karol: Czy funkcja lnx określona na przedziale <1;10> spelnia warunek Lipschitza. Należy wyznaczyć najmniejszą stałą Lipschitza. Niestety ale utknąłem w rozważaniach. Widzę ,że jest to funkcja spełniająca warunek bo jest określona na domkniętym obustronnie przedziale ale niestety nie mam pomysłu jak wyprowadzić stałą z odpowiednich przekształceń.

wredulus_pospolitus: zauważmy, że musi zachodzi nierówność: |f(x₁) − f(x₂)| < L*|x₁ − x₂| natomiast najmniejsza stałą L wyznacza się najłatwiej poprzez rozwiązanie nierówności: |f'(x)| ≤ L i szukamy najmniejszego L spełniającego tę nierówność dla dowolnego x z badanego przedziału Zastanów się skąd wynika ta nierówność, patrząc na pierwotną postać warunku Lipschitza.

Karol: Nie da się tego jakoś zrobić poprzez działania na logartymach ? Niestety ale nie miałem wprowadzonej wersji Lipschitza z pochodną.

Karol: W sensie w miarę widzę skąd bierzę się ten warunek z pochodną, ale bez solidnego wyprowadzenia albo dowodu nie mogę tego użyć.

wredulus_pospolitus: hmmm jak 'bardzo matematyczne' masz te studia ?

wredulus_pospolitus: 1) wykazujemy, że funkcja f(x) = lnx jest funkcją wklęsłą na przedziale (1,10) 2) wnioskujemy stąd, że jeżeli x₁ < x₂ < x₃ to

|f(x1) − f(x3)|		|f(x1) − f(x2)|
	<
|x1 − x3|		|x1 − x2|

3) w takim razie: dla dowolnego x₂ ≠ x₁ mamy:

|f(x1) − f(x2)|		|f(x1) − f(x1+h)|
	< limh−>0		=
|x1 − x2|		|x1 − (x1+h)|

|f'(x₁)| 4) stąd mamy: |f'(x)| ≤ L i szukamy takiego najmniejszego L dla którego będzie to spełnione dla dowolnego x∊ [1;10]

wredulus_pospolitus: A przynajmniej ja bym tak do tego podszedł ... tylko uwaga − ja studia dawno temu kończyłem i trochę 'po swojemu' podchodzę do dowodzenia

wredulus_pospolitus: Ad (1) −−− że jest wklęsła i rosnąca

wredulus_pospolitus: ad (4) z punktu (1) wynika, że |f'(1)| = f'(1) ≥ f'(x) stąd L_minimalne = f'(1) = 1

Karol: Studia są typowo matematyczne (mini PW). I jeżeli chce coś wprowadzić spoza wykładu to muszę niestety dać dowód.