Przestrzenie, metryka euklidesowa monster: Czy Przestrzeń Rⁿ z metryką euklidesową jest zupełna , n=1,2,3?

M:

Adamm: Wynika np. z tego że podzbiór Rⁿ jest zwarty ⇔ ograniczony i domknięty Jeśli x_k jest ciągiem Cauchy'ego w Rⁿ to domknięcie A_m = {x_k : k ≥ m} jest ograniczone bo ciągi Cauchy'ego są ograniczone, a domknięcie zbioru ograniczonego jest zbiorem ograniczonym Zatem A_m są zwarte, ponieważ przekrój skończonej ich ilości jest niepusty, to ∩_m A_m jest niepusty. Niech x będzie elementem tego zbioru, wtedy x jest punktem skupienia ciągu x_k Ponieważ ciąg Cauchy'ego ma co najwyżej jeden punkt skupienia, x jest granicą ciągu x_k