Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x wartości dodatnie przyjmuję wyrażenie hgstme: Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x wartości dodatnie przyjmuję wyrażenie: x⁴−2x³+2x²−8x+16 Otóż wiem, że to można zrobić wzorkami skróconego mnożenia tzn: x⁴−2x³+x²+x²−8x+16=x⁴−2x³+x²+(x−4)²=x²(x²−2x+1)+(x−4)²=x²(x−1)²+(x−4)² ≥0 Ale chciałbym to zrobić pochodną czyli skorzystać z warunku koniecznego fermata f'(x)=0 i obliczyć maksimum niestety przy obliczonej pochodnej f'(x)=4x³−6x²+4x−8 , nie mogę znaleźć pierwiastków wielomianu z twierdzeń o pierwiastkach całkowitych i wymiernych Proszę o wyjaśnienie

ABC: co tu wyjaśniać , pierwiastek rzeczywisty nie jest wymierny , ale jest jedyny więc wzory Cardano da się zastosować bez liczb zespolonych i trygonometrii , w innym wątku wspomniałem że taka metoda jest dość żmudna

chichi: No bo nie ma ani pierwiastka całkowitego, ani wymiernego. Przykład jest źle dobrany, aby dowodzić to właśnie w ten sposób, można ewentualnie z dobrą dokładnością szukać pierwiastka tego wielomianu korzystając z metody Newtona−Raphsona. Ale dałbym se siana i zastosował właśnie wzory skróconego mnożenia... Jeżeli chcesz natomiast sobie przećwiczyć ten schemat, to zostawię Ci zadanie, w którym możesz zastosować tę maszynerię: Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x spełniona jest nierówność: x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x +2 > 0

Mariusz: x⁴−2x³+2x²−8x+16=0 (x⁴−2x³)−(−2x²+8x−16)=0 (x⁴−2x³+x²)−(−x²+8x−16)=0 (x²−x)²+(x²−8x+16)=0 (x²−x)²+(x−4)² = 0 Gdybyśmy chcieli rozkładać ten wielomian na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach rzeczywistych to musielibyśmy wybrać inny pierwiastek równania rozwiązującego trzeciego stopnia a tak mamy sumę kwadratów i to wystarczy

Mariusz: Chcesz pochodnymi a nie umiesz rozwiązać tego równania które dostałeś po przyrównaniu pochodnej do zera ? http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf Tutaj masz pokazane jak takie równanie rozwiązać Jeśli będziesz chciał aby ci tę metodę dokładniej objaśnić to napisz

hgstme: Dziękuje, wszystkim za odpowiedzi, obliczyłem też drugą pochodną f''(x)= 12x²−12x+4 i na tej podstawie stwierdzam, że druga pochodna nie ma pierwiastków rzeczywistych licząc deltę czyli znajduję się nad osią OX, czyli pierwsza pochodna jest rosnąca tak mi się zdaje Mariusz link nie działa.

Mariusz: Powinien działać