Oblicz całkę jan: Cześć, czy pokaże mi ktoś jak obliczyć poniższą całkę bez użycia metody Eulera? ∫√x² +1dx

chichi: Podstaw x = tan(α)

jan: @chichi czy mogłabyś to rozpisać, lub bardziej rozjaśnić ?

wredulus_pospolitus: ale co tutaj jest do 'rozjaśniania' ? x = tga robisz takie podstawienie ... podstaw a zobaczysz co wychodzi

Mariusz: Jak chcesz mieć całkę z funkcji wymiernej a zabronili ci podstawień Eulera (które tutaj jak najbardziej pasują) to podstaw

	x
t =
	√x2+1

	x2   √x2+1−   √x2+1
dt =		dx
	x2+1

	x2+1−x2   √x2+1
dt =		dx
	x2+1

	1
dt =		dx
	(x2+1)√x2+1

(x²+1)√x²+1dt = dx

	x
t =
	√x2+1

	x2+1−1
t2 =
	x2+1

	1
t2 = 1 −
	x2+1

1
	=1−t2
x2+1

	1
x2+1 =
	1−t2

	1	1	1
∫				dt
	√1−t2	1−t2	√1−t2

	1
∫		dt
	(1−t2)2

Mila: Jest wiele metod obliczenia tej całki. Podam jak mnie kiedyś uczyli 1) Wiadomości:

	1
♦ ∫		dx=ln|x+ln|x+√x2+1|+C Masz w tablicach
	√x2+1

	U'(x)
♦ ∫		dx=2√U(x) +C Masz we wzorach z wykładów
	√U(x)

♦ Zał. Całkowanie przez części znasz! 2)Przekszałcenie wyrażania podcałkowego:

√x2+1		x2+1		x2		1
	=		=		+
1		√x2+1		√x2+1		√x2+1

3) całka

	x2		1
∫√x2+1 dx=∫		dx +∫		dx=
	√x2+1		√x2+1

	1		2x
=		∫x*		dx+ln|x+√x2+1
	2		√x2+1

	2x
J= ∫x*		dx =... przez części
	√x2+1

	2x
u=x, dv=		dx
	√x2+1

du=dx, v=2√x²+1

	1
J=x*2√x2+1−2∫√x2+1 dx /*
	2

1
	J=x√x2+1−∫√x2+1 dx
2

4) Wracamy do początku (3): ∫√x²+1 dx=x√x²+1−∫√x²+1 dx+ln|x+√x²+1⇔ 2∫√x²+1 dx=x√x²+1+ln|x+√x²+1⇔

	1		1
∫√x2+1 dx=		x√x2+1+		ln|x+√x2+1|+C
	2		2

==================================

chichi: W ogólności łatwo można wyprowadzić wzór, że:

	x		a2
∫√x2 + a2dx =		√x2+a2 +		ln|x + √x2+a2| + C, C ∊ ℝ
	2		2

Mila: Zgadza się

ABC: x= sh t − sinus hiperboliczny i z jedynki hiperbolicznej sh²t+1=ch²t tak moja pani w liceum za Jaruzelskiego mnie uczyła

Mariusz:

	1
Kiedyś to całkę		liczyli właśnie podstawieniem Eulera
	√x2+1

ale to jeszcze było przed tą amerykańską modą

Mila: ABC na youtube jest kilka rozwiązań z sinusem hiperbolicznym. Sądziłam, że ICSP "wrzuci " ten sposób. Ja odwołałam się do starej metody jakiej mnie uczono w pierwszej kolejności

ABC: Jasne , każdy Cyryl ma swoje Metody

chichi: To co, znowu zdalne

ABC: jest decyzja? w jakich miastach?

chichi: Wszędzie od 5 klasy wzwyż, do 25 lutego

Kacper: Wszystko fajnie dopóki jesteś zdrowy.