Oblicz całkę ABC:

	1
Witam mam problem z obliczeniem całki ∫		dx
	cos3x

Miałby ktoś pomysł na jakieś podstawienie?

ABC: cześć chińska podróbko mnie , możesz przez części albo przez podstawienie główny całkownik to Mariusz więc tylko powiem że przy podstawieniu domnażasz licznik i mianownik przez cos x , dążysz do wykorzystania jedynki trygonometrycznej i podstawienie t=sinx

	1		1
podobnie można przez częsci rozdzielając		i
	cos2x		cosx

janek191: Patrz: Analiza matematyczna w zadaniach − W. Krysicki. tom. I s.356 Powinno być w pdf.

ABC: może Mariusz rozpisze, jest piękny rozkład na ułamki proste po drodze a przez części też klasyka można rzec , logarytm tangensa i te sprawy

chichi: Pewnie nawet jest filmik na YouTube od blackpenredpen czy kogoś innego

jc: Mnożysz licznik i mianownik przez cos x i postawiasz s=sin x.

	ds
całka = ∫
	(1−s2)2

1		1		1		1
	=		(		+		)2
(1−s2)2		4		1−s		1+s

	1		1		1		1		1
=		(		+		+		+		)
	4		(1−s)2		(1+s)2		1+s		1−s

Dalej łatwo...

Mariusz: Jeżeli chodzi o całkowanie przez części to ja najpierw zapisuję licznik jako jedynkę trygonometryczną

	1		cos2x+sin2x
∫		dx=∫		dx
	cos3x		cos3x

	1		cos2x		sin2x
∫		dx=∫		dx+∫		dx
	cos3x		cos3x		cos3x

	1		1		sinx
∫		dx=∫		dx+∫sinx		dx
	cos3x		cosx		cos3x

	sinx
Całkę ∫sinx		dx łatwo policzyć przez części
	cos3x

	sinx
biorąc u = sinx dv =		dx
	cos3x

	sinx
u = sinx dv =		dx
	cos3x

	1
du = cosx dx v =
	2cos2x

	1		1		1	sinx		1		cosx
∫		dx=∫		dx+			−		∫		dx
	cos3x		cosx		2	cos2x		2		cos2x

	1		1	sinx		1		1
∫		dx=			+		∫		dx
	cos3x		2	cos2x		2		cosx

a tutaj już można różnie np z jedynki trygonometrycznej wiemy że cos²x=1−sin²x więc ci co znają podstawienia Eulera mogą wnieść że cosx = (1−sinx)t , będzie pasującym podstawieniem cosx = (1−sinx)t cos²x = (1−sinx)²t² 1−sin²x = (1−sinx)²t² (1−sinx)(1+sinx) = (1−sinx)²t² 1+sinx = (1−sinx)t² 1+sinx = t² − t² sinx sinx + t² sinx = t² − 1 sinx(1+t²) = t² − 1

	t2 − 1
sinx =
	t2 + 1

	t2 − 1		t2+1−t2+1
cosx = (1−		)t=(		)t
	t2 + 1		t2 + 1

	2t
cosx =
	t2+1

	t2 − 1
sinx =
	t2 + 1

	2t(t2+1)−2t(t2−1)
cosxdx =		dt
	(t2+1)2

	4t
cosxdx =		dt
	(t2+1)2

	2t	2
cosxdx =			dt
	t2+1	t2+1

2t		2t	2
	dx=			dt
t2+1		t2+1	t2+1

	2
dx =		dt
	t2+1

	1		t2+1	2
∫		dx=∫			dt
	cosx		2t	t2+1

	1		1
∫		dx=∫		dt
	cosx		t

	1		cosx
∫		dx=ln|		|+C
	cosx		1−sinx

	1		cosx(1+sinx)
∫		dx=ln|		|+C
	cosx		(1−sinx)(1+sinx)

	1		cosx(1+sinx)
∫		dx=ln|		|+C
	cosx		1−sin2x

	1		cosx(1+sinx)
∫		dx=ln|		|+C
	cosx		cos2x

	1		1+sinx
∫		dx=ln|		|+C
	cosx		cosx

	1
∫		dx
	cos3x

Jeżeli chcemy podstawiać to możemy rozszerzyć licznik i mianownik przez cosx i skorzystać z jedynki trygonometrycznej aby wyrazić mianownik za pomocą sinusa (w liczniku będziesz miał cosinusa czyli pochodną sinusa)

	1
∫		dx
	cos3x

	cosx		cosx
∫		dx=∫		dx
	cos4x		(1−sin2x)2

t=sinx dt = cosxdx

	1		1
∫		dt = ∫		dt
	(1−t2)2		(1−t)2(1+t)2

2 = (1 − t) + (1 + t) 4 = (1 − t)² +2(1 − t)(1 + t)+ (1 + t)²

	1		1		(1 − t)2 +2(1 − t)(1 + t)+ (1 + t)2
∫		dt =		(∫		dt)
	(1−t2)2		4		(1−t)2(1+t)2

	1		1		1		1		1
∫		dt =		(∫		+2∫		dt + ∫		dt)
	(1−t2)2		4		(1+t)2		(1−t)(1+t)		(1−t)2

	1		1		1		(1 − t) + (1 + t)
∫		dt =		(∫		dt+∫		dt +
	(1−t2)2		4		(1+t)2		(1−t)(1+t)

	1
∫		dt)
	(1−t)2

1

1

1

1

1

1

∫

dt =

(∫

dt+∫

dt+∫

dt+∫

dt)

(1−t2)2

4

(1+t)2

1+t

1−t

(1−t)2

	1		1		1		1
∫		dt =		(−		+		+ln|1+t|−ln|1−t|)+C
	(1−t2)2		4		1+t		1−t

	1		1		2t		1+t
∫		dt =		(		+ln|		|)+C
	(1−t2)2		4		1−t2		1−t

	1		1		2sinx		1+sinx
∫		dx =		(		+ln|		|)+C
	cos3x		4		cos2x		1−sinx

	1		1		2sinx		(1+sinx)(1+sinx)
∫		dx =		(		+ln|		|)+C
	cos3x		4		cos2x		(1−sinx)(1+sinx)

	1		1		2sinx		(1+sinx)2
∫		dx =		(		+ln|		|)+C
	cos3x		4		cos2x		(1−sin2x)

	1		1		2sinx		(1+sinx)2
∫		dx =		(		+ln|		|)+C
	cos3x		4		cos2x		cos2x

	1		1		2sinx		1+sinx
∫		dx =		(		+2ln|		|)+C
	cos3x		4		cos2x		cosx

	1		1		sinx		1+sinx
∫		dx =		(		+ln|		|)+C
	cos3x		2		cos2x		cosx

Mariusz: jc z podstawień to jednak cosx = (1−sinx)t będzie wygodniejsze bo co jeśli mielibyśmy większą potęgę w mianowniku

chichi: Sposób @jc genialny

Mariusz: Ja to samo zrobiłem tyle że rozpisałem (gdy zacząłem pisać odpowiedź jc jeszcze tego swojego wpisu nie wysłał a podczas pisania nie odświeżałem strony) Poza tym zastanówmy się co byśmy otrzymali gdybyśmy od razu zastosowali podstawienie które łatwo wymyślić bazując na podstawieniach Eulera

	1
∫		dx
	cos3x

cosx = (1− sinx)t cos²x = (1− sinx)²t² (1−sin²x) = (1− sinx)²t² (1−sinx)(1+sinx) = (1− sinx)²t² 1+sinx = (1−sinx)t² 1+sinx = t² − t²sinx sinx + t²sinx = t² − 1 sinx (t²+1) = t² − 1

	t2 − 1
sinx =
	t2+1

cosx = (1 − sinx)t

	t2 − 1		t2+1−t2+1
cosx = (1 −		)t = (		)t
	t2+1		t2+1

	2t
cosx =
	t2+1

	t2 − 1
sinx =
	t2+1

	2t(t2+1)−2t(t2−1)
cosxdx =		dt
	(t2+1)

	4t
cosxdx =		dt
	(t2+1)2

	2t	2
cosxdx =			dt
	t2+1	t2+1

2t		2t	2
	dx =			dt
t2+1		t2+1	t2+1

	2
dx =		dt
	t2+1

	(t2+1)3	2
∫			dt=
	8t3	t2+1

1		(t2+1)3
	∫		dt
4		t3

Gdyby nie rozpisywać co z czego się wzięło to też można by to zapisać w jednej linijce

Mariusz: O w ostatniej linijce nie skróciłem poprawnie Miało być

1		(t2+1)2
	∫		dt
4		t3