wzór na pole powierzchni pod krzywą zadaną w układzie biegunowym Mariusz: Załóżmy że chcemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni pod krzywą zadaną w układzie współrzędnych biegunowych bez korzystania z całki podwójnej Pole powierzchni pod krzywą w układzie prostokątnym (kartezjańskim) ∫_x0^x1f(x)dx Przekształćmy trochę powyższy wzór

	dx
∫x0x1f(x)dx = ∫t0t1f(x)		dt
	dt

	dx
∫x0x1f(x)dx = ∫t0t1y(t)		dt
	dt

∫_x0^x1f(x)dx = ∫_t0^t1y(t)x'(t)dt Mamy wzór na pole powierzchni pod krzywą zadaną parametrycznie x(θ)=r(θ)cos(θ) y(θ)=r(θ)sin(θ) ∫r(θ)sin(θ)(r(θ)cos(θ))'dθ=∫r(θ)sin(θ)(r'(θ)cos(θ)−r(θ)sin(θ))dθ ∫r(θ)sin(θ)(r(θ)cos(θ))'dθ=∫r(θ)r'(θ)sin(θ)cos(θ)dθ−∫r²(θ)sin²(θ)dθ ∫r(θ)r'(θ)sin(θ)cos(θ)dθ−∫r²(θ)sin²(θ)dθ Scałkujmy przez części pierwszą całkę a następnie dodajmy do tego drugą całkę

	1		1
=		r2(θ)sin(θ)cos(θ) − ∫		r2(θ)(cos(θ)cos(θ)−sin(θ)sin(θ))dθ−∫r2(θ)sin2(θ)dθ
	2		2

	1		1		1
=		r2(θ)sin(θ)cos(θ) − (∫		r2(θ)(cos2(θ)−sin2(θ))dθ+		∫r2(θ)2sin2(θ)dθ)
	2		2		2

	1		1
=		r2(θ)sin(θ)cos(θ) − ∫		r2(θ)(cos2(θ)−sin2(θ)+2sin2(θ))dθ
	2		2

	1		1
=		r2(θ)sin(θ)cos(θ) − ∫		r2(θ)(cos2(θ)+sin2(θ))dθ
	2		2

	1		1
=		(r(θ)sin(θ))(r(θ)cos(θ)) − ∫		r2(θ)dθ
	2		2

Czyli mielibyśmy

	1		1
limθ→θ2		(r(θ)sin(θ))(r(θ)cos(θ))−limθ→θ1		(r(θ)sin(θ))(r(θ)cos(θ))
	2		2

	1
−∫θ1θ2		r2(θ)dθ
	2

Co jest nie tak ?