układ gh1: Jak rozwiązać układ x²+2+y²+2xy=11y y(2x+y)²=2x²+13y+4

Kacper: Ładne

gh1: co ładne?

ABC: a jaka jest geneza tego układu? myślałem że krzywe stopnia drugiego ale chyba coś innego

Mariusz: Ja dostałem równanie wielomianowe u⁶−22u⁵−1153u⁴+4972u³+435231u²+4233834u+11546145=0 co się rozkłada na (u−39)(u−27)(u+17)(u+5)(u²+22u+129)=0 Przy czym u=√−44x+113 a y można uzyskać z pierwszego równania

gh1: A da się jakoś łatwiej?

ABC: Mariusz mam swoich zbiorach taki kalkulator Casio Algebra FX 2.0 , producent chwali się że rozwiązuje wielomiany do 30 stopnia , zapuściłem twoje równanie i policzył w jakieś 15 sekund wyniki te same

ICSP: 22y = 4xy + 2y² + 2x² + 4 y(2x+y)²=2x²+13y+4 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 22y −y(2x + y)² = 4xy + 2y² + 2x² − 2x² − 13y 2y² + 4xy − 35y + y(2x+y)² = 0 y = 0 v 2y + 4x − 35 + (2x + y)² = 0 y = 0 na mocy pierwszego równania jest sprzeczne. Drugi przypadek: 2y + 4x − 35 + (2x + y)² = 0 (2x + y − 5)(2x + y + 7) = 0 y = −2x + 5 v y = − 2x − 7 1^o y = − 2x + 5 po podstawieniu do pierwszego równania daje x² + 12x − 28 = 0 x = 2 ⇒ y = 1 x = −14 ⇒ y = 33 2^o y = −2x − 7 po podstawieniu do pierwszego równania daje: x² + 36x + 128 = 0 x = −4 ⇒ y = 1 x = −32 ⇒ y = 57 Wystarczy podstawić te liczby do drugiego równania i sprawdzić czy zachodzi tożsamość. Ostatecznie: (x,y) = (2,1) v (x,y) = (−14 , 33) v (x,y) = (−4,1) v (x,y) = (−32,57)

Mariusz: Ostatecznie otrzymałem cztery pary liczb (−32 , 57) (−14 , 33) (−4 , 1) (2 , 1)

ABC: Mariusz ty stary zespoleniec i nie podajesz piątego rozwiązania (i√2,0) ? nie było napisane rozwiąż w liczbach rzeczywistych

Mariusz: Co do rozwiązania Z pierwszego równania dostajemy dwa rozwiązania na y Podstawiamy u=√−44x+113 aby pozbyć się pierwiastka

	11		1
Dla y=−x+		+		√−44x+113
	2		2

otrzymujemy równanie u⁶−22u⁵−1153u⁴+4972u³+435231u²+4233834u+11546145=0

	11		1
a dla y = −x+		−		√−44x+113
	2		2

otrzymujemy równanie u⁶+22u⁵−1153u⁴−4972u³+435231u²−4233834u+11546145=0 Równanie u⁶−22u⁵−1153u⁴+4972u³+435231u²+4233834u+11546145=0 rozkłada się na (u−39)(u−27)(u+17)(u+5)(u²+22u+129)=0 ale interesują nas tylko nieujemne pierwiastki rzeczywiste 39 = √−44x+113 27 = √−44x+113 oraz

	11		1
y=−x+		+		√−44x+113
	2		2

17 = √−44x+113 5 = √−44x+113 oraz

	11		1
y=−x+		+		√−44x+113
	2		2

Gdyby x ∊ C ⋀ y ∊ C to mielibyśmy więcej rozwiązań ale w rzeczywistych tylko tyle

Mariusz: W drugim przypadku miało być 17 = √−44x+113 5 = √−44x+113 oraz

	11		1
y=−x+		−		√−44x+113
	2		2

Kacper: ICSP jak zawsze ładne rozwiązanie

Mariusz: Kacper nie popadaj w jego uwielbienie bo karmisz jego arogancję

Mariusz: Tutaj standardową metodą podstawienia da się ten układ rozwiązać i nawet da się te pierwiastki równania wielomianowego ustrzelić z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych tyle że mnie się nie chciało sprawdzać dzielników wyrazu wolnego i zapuściłem swój programik do wartości własnych

ABC: Mariusz bądźmy szczerzy w epoce przedkomputerowej trochę czasu by zajęło rozwiązanie tego twojego równania Pamiętam dwa teksty z dawnych książek , jedno dotyczyło też równania wielomianowego "Po żmudnych acz wykonalnych w ciągu 8 godzin dnia roboczego rachunkach otrzymujemy " a drugie słynnego problemu Archimedesa o liczebności stada bydła "Po niebywale skomplikowanych rachunkach zdołał obliczyć trzy pierwsze cyfry rozwiązania"

Mariusz: ABC chodzi o to że takimi wpisami sprawia że ten on staje się coraz bardziej arogancki i lepiej nie chwalić go nawet jeśli rzeczywiście jego rozwiązanie wymaga mniej liczenia

ABC: Mariusz ja na tym forum dopiero od 3 lat jestem , ale pamiętam że w 2010 roku cudowny gimnazjalista Vax działał na matematyka.pl , i tu go w archiwum też znalazlem, a ICSP ma z nim jakieś powiązania, czyli to długoletni, zaslużony uczestnik tego forum A jeśli chodzi o rozwiązania , cały czas mam ten dylemat z własnymi uczniami pokazywać coś co jest eleganckie ale nie łatwo na to wpaść czy też " brutalna siła" mało myślenia dużo pracy ale jak nie zrobisz błędu to masz I powiem ci że w klasie 25−30 osobowej 3−4 osoby docenią elegancję a reszta chce prosty algorytm czy to dobrze czy źle to temat na długą dyskusję o polskiej szkole

Mariusz: ABC to jak wytłumaczysz to np że wybiera sobie bez żadnego uzasadnienia osoby na których wpisy nie odpowiada itp Co do powiązań z Vaxem to pamiętam że wyżebrał od niego sposób na równania trzeciego i czwartego stopnia które później krytykował (Skoro tak bardzo tą metodę krytykuje to po co kiedyś usilnie chciał aby Vax mu ją pokazał ?) Ja z Vaxem pisałem jedynie o równaniach trzeciego i czwartego stopnia Dałem mu wtedy do przeczytania ten pdf z rozdziałem książki Sierpińskiego i odpowiadałem na jego pytania związane z przedstawioną tam metodą Pokazałem mu nieco trudniejszą wersję metody dla równań trzeciego stopnia bo wymagającą liczb zespolonych ale ja także musiałem się wtedy wczytać w tekst Sierpińskiego aby móc wytłumaczyć Vaxowi tę metodę zwłaszcza że Vax był wtedy gimnazjalistą Teraz Vax jest już informatykiem i nie wchodzi już na forum Myślisz że mają ze sobą kontakt ?

ABC: Nie mam pojęcia , szkoda że Vax nie poszedł w matematykę bo w/g mnie miał zadatki na dobrego dydaktyka uczelnianego, potrafił omówić problemy, do dziś mam parę zakładek na matematyka.pl z jego rozwiązaniami

Min. Edukacji: https://mlodytechnik.pl/eksperymenty-i-zadania-szkolne/matematyka/29014-stare-zadania

Mariusz: W mojej rodzinie mam jednego nauczyciela z praktyką a drugiego tylko po studiach ale chyba nie byłbym dobrym nauczycielem Jak byś to ocenił Mnie się wydaje że dobrze tłumaczyłem użytkownikom forum w tym także i Vaxowi sposób na równania trzeciego i czwartego stopnia Kiedyś próbowałem pokazać zefowi podstawowe sposoby całkowania Chciałem aby dobrze przećwiczył całkowanie funkcji wymiernych abyśmy mogli przejść dalej ale się zniecierpliwił i przestał odpowiadać Całkiem niedawno próbowałem pokazać Szkolniakowi sposoby rozwiązywania równań różniczkowych Przygotowałem plan działania ale poległem przy wymyślaniu przykładów a w zbiorach zadań nie znalazłem przykładów pasujących do typu którego chciałem omówić

Mariusz: Ja się domyślam dlaczego Vax nie został nauczycielem Za mało by mu płacili w oświacie a nie chiał na uczać dla idei, aby młode pokolenie było dobrze wykształcone

Mariusz: Min Edukacji to ostatnie zadanie z tej strony przypomina mi odcinek Świata według Kiepskich "Szkoła rzycia" , błąd ortograficzny zamierzony − w oryginale tak było

ABC: Tam w tym linku jest rozwiązanie zaczynające się od 776 i potem ponad 200 tysięcy cyfr i ten gość o którym wspomniałem wcześniej, jego nazwisko jest w artykule, znalazł na piechotę te 3 pierwsze cyfry , trochę wysiłku w to włożył. Potem to zadanie służyło do testowania superkomputerów Cray w latach zimnej wojny.

daras: Archimedes by tego nie wymyślił