całka podstawianie Julek45: Obliczyć: ∫x sqrt(x−3) dx metodą podstawiania.

ite: podstaw t = x−3

Julek45: Wyszło dobrze. Dzięki. A co powiesz na całkę z 1/(x*sqrt(x²−2)). Podstawiłem t=x²−2, ale to nie wystarczyło. Co dalej?

Mariusz: a nie lepiej t²=x²−2

Mariusz: Jeżeli chcesz podstawienia działające na całki postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx, gdzie R(x,y) to funkcja wymierna dwóch zmiennych

	1
∫		dx
	x√x2−2

√x²−2=t−x x²−2=t²−2tx+x² −2=t²−2tx 2tx=t²+2

	t2+2
x=
	2t

	t2−2
t−x=
	2t

	2t*2t−2(t2+2)
dx=		dt
	4t2

	2t2−4
dx=		dt
	4t2

	t2−2
dx=		dt
	2t2

	2t	2t	t2−2
∫				dt=
	t2+2	t2−2	2t2

	2
∫		dt
	t2+2

	2		1
=		∫		dt
	2		t   1+( )2   √2

	1   √2
=√2∫		dt
	t   1+( )2   √2

	t
=√2arctg(		)+C
	√2

	x+√x2−2
= √2arctg(		)+C
	√2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	1
∫		dx
	x√x2−2

√x²−2=(x−√2)t x²−2=(x−√2)²t² (x+√2)(x−√2)=(x−√2)²t² x+√2=(x−√2)t² x+√2=xt²−√2t² x−xt²=−√2t²−√2 x(t²−1)=√2(t²+1)

	t2+1
x=√2
	t2−1

	2
x=√2(1−		)
	t2−1

	2√2
(x−√2)t=((√2−		−√2))t
	t2−1

	2√2t
(x−√2)t=−
	t2−1

dx=−2√2(t²−1)⁻²*(−1)*2tdt

	4√2t
dx=		dt
	(t2−1)2

	(t2−1)	t2−1	4√2t
∫				dt
	√2(t2+1)	(−2√2)t	(t2−1)2

=−√2arctg(t)+C

	√x2−2
=−√2arctg(		)+C
	x−√2

jc: Podstawienie x=√2ch t daje całkę

	√2 sh t dt		1		dt
∫		=		∫		=
	√2 ch t √2 sh t		√2		ch t

	1		dt		1		(sh t)' dt
=		∫		=		∫		=
	√2		ch t		√2		sh2t + 1

1		1		√x2−2
	arctg sh t =		arctg
√2		√2		√2

Mariusz: To samo uzyskałby stosując pierwsze zaproponowane przeze mnie podstawienie czyli t² = x² − 1 a te dwa następne podstawienia pokazałem aby wiedział jak sobie radzić z całkami postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx , gdzie R(x,y) to funkcja wymierna dwóch zmiennych

Julek45: Dziękuję za pomoc.

jc: Mariusz, masz rację. Dziękuję. t²=x²−2 tdt = xdx

	dx		xdx		tdt		dt
∫		= ∫		= ∫		= ∫
	x√x2−2		x2√x2−2		(t2+2)t		t2+2

	1		t		1		√x2−2
=		arctg		=		arctg
	√2		√2		√2		√2