Algebra Saizou : Cześć, ma ktoś pomysł jak rozwiązać takie zadanie? Wyznaczyć największą liczbą naturalną, którą można jednoznacznie przedstawić w postaci 28x+37y, gdzie x, y ∈ N. Odp. to 2007, ale jak do tego dojść?

wredulus_pospolitus: 1) NWD(28,37) = 1 (co jest istotne) 2) skoro liczba ma być JEDNOZNACZNIE określona w postaci 28*x + 37*y to znaczy, że mamy tylko JEDEN zestaw x,y odpowiadający temu przedstawieniu 3) związku z tym największą możliwą liczbą będzie 28*(37−1) + 37*(28−1) = 2007 4) dlaczego jest największa? Weźmy za przykład liczbę 2035 = 28*37 + 37*26 ale także = 28*0 + 37*(28+26) 5) ogólnie ... jeżeli liczba nie jest jednoznacznie przedstawiona, to znaczy że można ją zapisać w postaci 28*x + 28*37*z + 37*y i taki właśnie zapis daje nam niejednoznaczność pierwotnej postaci zapisania tejże liczby

wredulus_pospolitus: x,y ∊ N ale z ∊ N₊

ABC: znam jeden sposób ale naprawdę ciężka artyleria z XIX w. teorii liczb , natomiast to jest o ile pamiętam zadanie z legendarnej książki Musztariego i chyba było tam rozwiązane pewnie jakimś łatwiejszym sposobem lecz niestety książki nie posiadam

Saizou : Ale skąd wiesz, że x = 37−1 oraz y = 28−1?

Saizou : ABC właśnie z tej książki to zadanie pochodzi, ale też jej nie mam.

wredulus_pospolitus: niech k = 28x + 37y będzie niejednoznacznie określona, wtedy: 28x + 37y = 28a + 37b (gdzie x≠a , y≠b) −−> 28(x−a) = 37(y−b) zachowana równość może być jedynie gdy: y−b = 28j x−a = 37n największymi x i y takimi aby nie istniały a,b ∊ N by żadne z tych równań nie mogło zajść to: x = 37−1 oraz y = 28−1 (bo wtedy musiało być odpowiednio a = −1 oraz b = −1). jeżeli którekolwiek z x,y będzie większe o wyżej podanych, to minimum jedno z równań będzie spełnione i będziemy mieli niejednoznacznie określoną postać liczby

wredulus_pospolitus: Czy trochę wyjaśniłem sposób w jaki na to patrzę ?

wredulus_pospolitus: jeszcze warto oświęcić linijkę komentarza równaniu: x−a = (y−b)*m i dlaczego jego tutaj nie musimy rozpatrywać (chociaż równie dobrze moglibyśmy to uczynić w formie komentarza, dlaczego nie trzeba tego czynić )

Saizou : "największymi x i y takimi aby nie istniały a,b ∊ N by żadne z tych równań nie mogło zajść to: x = 37−1 oraz y = 28−1 (bo wtedy musiało być odpowiednio a = −1 oraz b = −1)." Dlaczego takie wartości? Dlaczego dobierasz j =1 oraz n = 1?

wredulus_pospolitus: dla jakiego x∊ N przy dowolnych a∊N oraz n∊N₊ poniższe równanie NIE BĘDZIE spełnione: x − a = 37n

wredulus_pospolitus: poprawka n∊N oraz a≠x

wredulus_pospolitus: poprawka (ostateczna) n∊Z

Kacper: Posiadam tę książkę i nie ma tam zbyt wiele wyjaśnione na temat tego zadania

ABC: Nie ma zbyt wiele , to znaczy jest szkic rozwiązania czy nie?

Kacper: Podpowiedź: Co można powiedzieć dla liczb x−x₁ oraz y−y₁, jeśli (x, y) oraz (x₁, y₁) są rozwiązaniami równania dla pewnego ustalonego c. wskazówka: "Zauważ, że liczby 28 i 37 są względnie pierwsze oraz liczby 19 i 84 też są względnie pierwsze"

ABC: wredulus o 19 i 84 nic nie wspominał , czyli książka inaczej chce to zrobić niż on

Kacper: Z tym, że wskazówka była do 2 zadań, może to 19 i 84 tyczy się kolejnego zadania, nie patrzyłem

ABC: chyba będę musiał zabawić się w pirata i ściągnąć z neta zobaczyć samemu

Mila: Jest necie zadanie : Największą liczbą naturalną, którą można jednoznacznie przedstawić w postaci: 28x+37y, gdzie x,y∊N jest liczba 2007 1) ( *) 28x+37y=2007 liczba rozwiązań naturalnych:

	2007		2007
[		] lub [		] +1
	28*37		28*37

	2007		2007
[		] =[		]=1
	28*37		1036

2007:1036=1+r. 971 28x+37y=971 brak rozwiązań naturalnych ponieważ 971=1036−28−36− liczba nieosiągalna (tzn. że nie istnieją x,y∊N, aby spełniały to równanie) 2) Równanie (*) ma dokładnie jedno rozwiązanie naturalne. (36,27) 3) Nie wiem, wg jakiego tw. ustalić to, co wpisał Saizou Rozwiązanie równania: 28x+37y=1 x=4+37k y=−3−28k, k∊Z Coś trzeba z tego pokombinować ? Skorzystać z wielokrotności ?