udowodnij lukas: Udowodnij że jeżeli suma trzech dowolnych liczb naturalnych jest podzielna przez 6, to suma sześcianów tych liczb jest również podzielna przez 6 ktoś by mi pomógł przebrnąć przez to krok po kroku?

wredulus_pospolitus: skoro suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 6 to znaczy, że te liczby możemy zapisać w postaci: 6a−1 , 6a , 6a + 1 lub 6a+1 , 6a+2 , 6a+3 lub 6a+3 , 6a + 4 , 6a + 5 a więc masz trzy postacie ... dla każdej z nich podnosisz do 3 potęgi i wykazujesz, że suma ta będzie podzielna przez 6

lukas: tylko że tutaj nie chodzi o "trzy kolejne", tylko "trzy dowolne"

wredulus_pospolitus: inne podejście zapiszmy te trzy liczby w postaci: a−1 , a , a+1 liczymy (a−1)³ + a³ + (a+1)³ = a³ − 3a² + 3a − 1 + a³ + a³ + 3a² + 3a + 1 = = 3a³ + 6a −−−> a (środkowa liczba) musi być liczbą parzystą aby ta suma była podzielna przez 6 zauważmy, że a−1 + a + a+1 = 3a będzie podzielne przez 6 o ile 'a' (środkowa liczba) będzie liczbą parzystą c.n.w.

ABC: nic tu trudnego nie ma, zakładasz że x+y+z =6n dla pewnego n i pokazujesz że wtedy x³+y³+z³ =6p dla pewnego p pomagasz w tym sobie podnosząc pierwsze równanie stronami do trzeciej potęgi

wredulus_pospolitus: aby x+y+z było podzielne przez 6, to przynajmniej jedna (jedna lub trzy) liczba musi być liczbą parzystą (trudno aby suma trzech liczb nieparzystych dawała nam liczbę parzystą ) i teraz można skorzystać z trochę mniej znanego wzoru skróconego mnożenia: x³ + y³ + z³ −3xyz = (x+y+z)(x² + y² + z² − xy − xz − yz) tak więc: x³ + y³ + z³ = (x+y+z)(x² + y² + z² − xy − xz − yz) + 3xyz więc x³ + y³ + z³ będzie podzielne przez 6 jeżeli 3xyz będzie podzielne przez 6, a 3xyz będzie podzielne przez 6, jeżeli xyz będzie podzielne przez 2, a xyz będzie podzielne przez 2, jeżeli przynajmniej jedna z tych liczb (x,y,z) jest liczbą parzystą, a ... to był nasz początkowy warunek na to aby x+y+z miało szansę być podzielne przez 6 c.n.w.

ABC: ja bym dowodził z tożsamości (x+y+z)³=x³+y³+z³+3(x+y)(y+z)(z+x) ale co kto lubi

lukas: wredulus_pospolitus jak się wyprowadza taki wzór skróconego mnożenia?

ABC: sposób Cygana który wyemigrował do Ameryki jest taki : piszesz wyznacznik 3x3 x y z z x y y z x obliczasz go na dwa sposoby 1) metoda Sarrusa 2)dodajesz drugą i trzecią kolumnę do pierwszej strasznie mi się ten sposób podoba bo jest z cyklu " jak ja mam na to wpaść ? "

emi: Liczby, x,y,z >0 to z nierówności między średnimi : potęgową i arytmetyczną

	x3+y3+z3		x+y+z
3√		≥		//3
	3		3

	(x+y+z)3		(6k)3
x3+y3+z3≥		=		= 36k3
	9		9

jest podzielna przez 6

emi: miało być ...........= 24k³

PW: emi, z faktu że coś jest większe od 24 k³ wcale nie wynika podzielność przez 6.

emi: No to "lipa" ......( a tak ładnie "żarło"

Mila: Dla Lukasa: (a+b+c)³=(a+b+c)²*(a+b+c)=(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)(a+b+c)=

Mila: cd. (a+b+c)³=a³+b³+c³+3a²b+3a²c+3ab²+3ac²+3b²c+3bc²+6abc= a³+b³+c³+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c)+6abc ⇔a³+b³+c³=(a+b+c)³−6abc−3ab(a+b)−3ac(a+c)−3bc(b+c) 1) 6|(a+b+c)³ z założenia 2) 6| 6abc 3) 3ab(a+b) mamy : co najmniej jedna z liczb a i b jest parzysta albo obie są nieparzyste, wtedy a+b jest liczbą parzystą i w obu przypadkach : 6|3ab(a+b) analogicznie w pozostałych 2 składnikach