Rozwiąż równanie różniczkowe Edek: y*y''−(y')²=y²*y' Zacząłem tak i nie wiem co dalej? Ktoś ma pomysł? y*y''−(y')2−y²*y' [ y'(x)=u(y(x)); y''(x)=(du/dy)*(dx/dy)=du/dy*u] F(y,u,u*du/dy)=0 y*u*du/dy−u²−y²*u=0 /:u y*du/dy−u−y²=0

jc:

	y'		yy'' − y' y'		y2y'
(		)' =		=		= y'
	y		y2		y2

y'
	= y+ C
y

ln|y| = y + Ct

Edek: Mógłbyś mi to rozjaśnić, jak to wzdrążyć?

Mariusz: Edek twój pomysł też był dobry Dostałeś równanie liniowe które mógłbyś rozwiązać np uzmiennianiem stałej

Mariusz: yu'−u−y²=0 yu'−u=y² yu'−u=0 yu'=u

u'		1
	=
u		y

du		dy
	=
u		y

ln|u|=ln|y|+ln|C| u=Cy u(y) = C(y)y yu' − u=y² y(C'(y)y+C(y)) − C(y)y = y² C'(y)y² + C(y)y − C(y)y = y² C'(y)y²=y² C'(y) = 1 C(y)=y u_s=y² u_j = Cy u(y)=Cy+y² y'=Cy+y²

dy
	=dt
y(C1+y)

1	C1+y−y
		dy=dt
C1	y(C1+y)

1		1		1
	(		−		)dy=dt
C1		y		C1+y

	1		1
(		−		)dy=C1dt
	y		C1+y

ln|y|−ln|C₁+y|=C₁t

	y
ln|		|=C1t+C2
	C1+y

Edek: Mariusz, właśnie chciałem tym tokiem rozumowania iść, ale nie mam pojęcia jak to rozdzielić tak aby całka u była po jednej stronie a y po drugiej.

Edek: Dzięki, już biorę się za analize tego!

Mariusz: jc we wpisie z 12 sty 2022 15:59 jest u ciebie problem z ostatnią linijką (przejście z przedostatniej do ostatniej linijki jest błędne)

jc: Jasne, że jest błędne.

y'
	= 1
y(C+y)

Tu należy rozpatrzyć dwa przypadki. C=0 i C≠0.

	y'		−1
C=0 daje		= 1, czyli		=t + K
	y2		y

C≠0 daje

y'		1		1
	(		−		) = 1
C		y		y+C

ln|y| − ln|y+C| = Ct+K.

Mariusz: Ja tutaj nie rozważyłem przypadku C=0 ale i tak pokazałem że jego pomysł był dobry i dość schematyczny