Równanie różniczkowe bez x Damian#UDM: Zadanie 1. Rozwiąż równanie różniczkowe 2y^''=3y² Rozwiązanie 1. Podstawienie y^'=u(y)=u y^''=u^'*u 2u^'*u=3y²

2udu
	=3y2 |*dy2
dy

Otrzymałem równanie o zmiennych rozdzielonych udu=³₂y²dy |∫ ¹₂u²=¹₂y³+C , C_n={C₁, C₂, C₃, ...}∊R ¹₂u²=¹₂y³+C |*2 u²=y³+C | √ u=±√y³+C y^'=C₁√y³+C Co dalej? Czy jest to w ogóle dobrze?

Mariusz: No tak to należałoby rozwiązać Dalej to trzeba by sprowadzić do tzw całki eliptycznej

Damian#UDM: Czyli coś, czego jeszcze nie potrafię Chyba wrócę do nauk Mariusza

Damian#UDM: Tu jeszcze są warunki początkowe: y(−2)=1 y'(−2)=−1

Damian#UDM: Zadanie 2. Rozwiąż równanie różniczkowe

	y'		x2
y''=		+
	x		y'

1. Podstawienie u(x)=y^' y^''=u^'(x)

	u		x2
u'=		+
	x		u

	u
2. Podstawienie t=
	x

t*x=u |' t^'*x+t=u^'

	x
t'*x+t=t+
	t

	x
t'x=		| :x , x≠0
	t

tdt=dx | ∫ t²=2x+C₁ , C₁∊R u²=2x³+C₁x² | √ u=C₂x√2x+C₁ , C₁ i C₂∊R y=C₂∫x√2x+C₁dx No i znowu pytanie co dalej

Mariusz: Dalej to trzeba scałkować Możesz podstawić a możesz przez części ∫x√2x+C₁dx=∫x(2x+C₁)^1/2dx

	1
∫x(2x+C1)1/2dx=		x(2x+C13/2)−∫(2x+C13/2)dx
	3

	1		1
∫x√2x+C1dx=		x(2x+C1)√2x+C1−		(2x+C1)2√2x+C1+C3
	3		5

Mariusz:

	1
Zapomniałem		przed całką
	3

Powinno być

	1		1
∫x(2x+C1)1/2dx=		x(2x+C1)3/2−		∫(2x+C1)3/2dx
	3		3

	1		1
∫x√2x+C1dx =		x(2x+C1)√2x+C1−		(2x+C1)2√2x+C1+C3
	3		15

Mariusz: Co do tej litery t to ja akurat wolę wybierać inną literę dla zmiennej bo gdy będziesz miał możliwość zamiany zarówno zmiennej zależnej jak i niezależnej to ci się może pomylić która zmienna jest zależna a która niezależna Ja np zmienną t zarezerwowałem sobie dla zmiennej niezależnej

Damian#UDM: Zadanie 3. Rozwiąż równanie różniczkowe metodą sprowadzenia do równania I rzędu. x²*y''+x*y'−x=1 Zadanie 4. Rozwiąż równanie różniczkowe metodą uzmienniania stałej. y'cos(x)−x=sin(x)*(y+cos(x)) Zadanie 5. Rozwiąż równanie różniczkowe liniowe II rzędu metodą współczynników nieoznaczonych. Proszę o pomoc

kerajs: Ad 3 Podstawienie t=y' ⇒ t'=y'' daje równanie liniowe:

	1		x+1
t'+		t=
	x		x2

Ad 4 To także równanie liniowe:

	x
y'−(tg x) y=		+ sin x
	cos x

Ad 5 Brak równania

jc: Trochę inaczej. 2y'' = 3y³ 2yy' = 3y²y' [(y')²]' = (y³)' (y')² = y³+C

kerajs: ''jc: 2y'' = 3y³ 2yy' = 3y²y' '' Hmm ... . Skąd (z jakiego działania) się wzięła druga linijka?

jc: Obie strony równania pomnożyłem przez y'. Dość typowe przekształcenie. m x'' = −V'(x) m x'' + V'(x) = 0 m x'' x' + V(x) x' = 0

1
	m(x')2 + V(x) = E
2

E stała (energia)

kerajs: '' jc: Obie strony równania pomnożyłem przez y'. '' Czyli powinno wtedy tak: 2y'' = 3y³ /* y' 2y'y'' = 3y³y'

	3
((y')2)'=(		y4)'
	4

Jednak teraz widzę iż zrobiłeś literówkę w pierwszej linijce zmieniając potęgę z 2 na 3, i zapomniałeś o znaku '' w drugiej.

jc: Oczywiście miało być 2 y'' = 3 y² [(y')²] ' = (y³)'

Damian#UDM: Ja nie wierzę, zapomniałem równanie przepisać. Poszukam i wstawię je tutaj. Dziękuję Wam za pomoc, przeanalizuje te rozwiązania

Damian#UDM: Zadanie 5. Rozwiąż równanie różniczkowe (1−x)²y''−2xy'+2y=0

Mariusz: Tutaj możesz łatwo obniżyć rząd równania podstawieniem y=x∫u(x)dx (1−x)²(x∫u(x)dx)''−2x(x∫u(x)dx)'+2y=0 (1−x)²(∫u(x)dx+xu(x))'−2x(∫u(x)dx+xu(x))+2x∫u(x)dx=0 (1−x)²(u(x)+u(x)+xu'(x))−2x∫u(x)dx−2x²u(x)+2x∫u(x)dx=0 (1−x)²(2u(x)+xu'(x))−2x²u(x)=0 (1−x)²xu'(x)+(2−4x+2x²)u(x)−2x²u(x)=0 (x³−2x²+x)u'(x)+(2−4x)u(x)=0

u'(x)		4x−2
	=
u(x)		x(x−1)2

A		B		C		4x−2
	+		+		=
x		x−1		(x−1)2		x(x−1)2

A(x²−2x+1)+Bx(x−1)+Cx=4x−2 A(x²−2x+1)+B(x²−x)+Cx=4x−2 A + B = 0 −2A − B + C = 4 A = −2 A = −2 B = 2 C = 4+2A+B A = −2 B = 2 C = 2

4x−2		−2		2		2
	=		+		+
x(x−1)2		x		x−1		(x−1)2

	x−1		1
ln|u(x)|=2ln|		|−
	x		x−1

	(x−1)2		1
u(x)=C1		exp(−		)
	x2		x−1

	(x−1)2		1
y=x∫C1		exp(−		)dx
	x2		x−1

Mariusz: Oj w argumencie exponenty powinna być dwójka

	(x−1)2		2
y = x∫C2		exp(−		)dx
	x2		x−1

Jak tę całkę policzyć ? Możesz zacząć przez części

	1
Możesz też zacząć od podstawienia t=
	x−1

a następnie od rozłożenia czynnika wymiernego na sumę ułamków prostych i następnie to co się da to uprościć licząc przez części Nie unikniesz jednak funkcji neelementarnych takich jak funkcja całkowo−wykładnicza

	et
Ei(x) = ∫−∞x		dt
	t

Mariusz: (1−x)²y''−2xy'+2y=0 Ja to się zaczynam zastanawiać czy ty aby na pewno w dobrym miejscu postawiłeś ten kwadrat tzn czy aby nie powinien on być w tym miejscu (1−x²)y''−2xy'+2y=0 ?

Damian#UDM: No może jest błąd. Sprawdzę to

Mariusz: Chodzi o to że równanie które podałem jest równie trudne do rozwiązania ale nie wymaga funkcji nieelementarnych

Damian#UDM: Rozumiem To może je lepiej zostawmy. A teraz takie: Zadanie 6. Rozwiąż równanie różniczkowe. 2yy''+(y')²+(y')⁴=0 Próbowałem tak u(y)=y' |' u'*u=y'' u*(2yu'+u+u³)=0 u=0 lub 2yu'+u+u³=0 y'=0 |∫ y=C , C∊R 2yu'+u+u³=0 u³+u=−2y^du_dy

−1	dy		du
		=		|∫
2	y		u*(u2+1)

	−1	dy		du
∫			=∫
	2	y		u*(u2+1)

−1
	ln|y|+C=ln|u|−12ln|u2+1|
2

ln|¹_y|C=2ln|u|−ln|u²+1|

	C1		u2
ln|		|=ln|		|
	y		u2+1

C2		u2
	=
y		u2+1

u2+1		y
	=
u2		C2

1		y−C2
	=
u2		C2

	C2
u2=
	y−C2

	C2
y'=C3√
	y−C2

Co dalej? Czy to wgl jest zrobione dobrze?

Damian#UDM: Zadanie 7. Rozwiązać równanie różniczkowe 1+3x²*sin(y)−xctg(y)*y'=0

Damian#UDM: Już mam rozwiązanie, chory przykład

Mariusz: Jeśli chodzi o równanie z 26 sty 2022 21:42 to schemat postępowania dobry A jeśli chodzi o równanie z 27 sty 2022 19:34 to łatwo znaleźć czynnik całkujący zależny od y i sprowadzić do zupełnego

Mariusz: Równanie z 27 sty 2022 19:34 można też rozwiązać bez sprowadzania do zupełnego ale trzeba by pozbyć się funkcji trygonometrycznych Najlepiej zrobić to podstawieniem u(x) = sin(y(x))

Damian#UDM: To jeśli mogę prosić o dokończenie równania różniczkowego z 26 sty 21:42 to będę bardzo wdzięczny

Mariusz: Dalej to już tylko rozdzielasz zmienne Wykonując mnożenie przenieś wyrażenie z y na tę samą stronę równania co dy Na stronę równania gdzie masz stałą C₃ przenieś także dt Gdy już to zrobisz to dalej już tylko całkowanie które tak na dobrą sprawę można wykonać w pamięci

Damian#UDM: No racja, mogę przecież rozdzielić pierwiastek na licznik i mianownik. Super! Bardzo dziękuję