calka gracjan: generalnie zrobilem tak ze pozamienialem sobie wszystko że r∊[0,1] oraz ze φ∊[0,π/2] https://zapodaj.net/ce2f1022ff18e.png.html tutaj

	1−r2
jest polecenie, ale teraz mam cos takiego ze ∫0π/2(∫01√		dr)dφ ale ta
	1+r2

calka jest jakas trudna do policzenia ktos ma jakis pomysl?

jc: zgubiłeś jakobian

	π		1−r2
=		∫01 (		)1/2 rdr
	2		1+r2

	π		1−t
=		∫01 (		)1/2 dt
	4		1+t

gracjan:

	1		1−t
A nie powinno byc po prostu		∫01√		dt skąd u ciebie w 1 wierszu wzięło się
	2		1+t

π/2 przed całka?

jc: Przed wszystkim masz całkę względem φ i ona daje czynnik π/2.

	2p
Podstawienie t=		daje całkę
	1+p2

	2p
2∫01 (1 −		) dp = 2[p − ln(1+p2)]01=2(1 − ln 2)
	1+p2

Sprawdź, bo może coś pomyliłem.

jc: Jednak coś pomyliłem.

	(1−p)2
Po podstawieniu mamy całkę 2∫02		dp
	(1+p2)2

	1
= 2[arctg p +		]01 = π − 1
	1+p2

gracjan: no dobrze ale najpierw licze calke oznaczona po r a pozniej dopiero po φ i robie wlasnie tak i

	π2		π
otrzymuje wynik taki jak w ksiazce czyli		−
	8		4

moze ci to tutaj napisze:

	1−r2
∫0π/2(∫01√		rdr)dφ=
	1+r2

	1
r2=t to rdr=		dt
	2

	1		1−t		1		1−t
= ∫0π/2(		∫01√		dt)dφ=∫0π/2(		∫01		dt)dφ=
	2		1+t		2		√1−t2

	1		1		t
=∫0π/2(		∫01(		−		)dt)dφ=
	2		√1−t2		√1−t2

	1
=		∫0π/2(arcsinx+√1−x2|01)dφ=
	2

	1		π		1		π		π2		π
=		∫0π/2(		−1)dφ=		(		−1)φ|0π/2=		−
	2		2		2		2		8		4

i tak ksiazka tes podaje

gracjan: Tam zamiast x powinno być t źle napisałem i co zrobiłem źle?

jc: Znów ja się pomyliłem. arctg 1 = π/4. Mamy taki sam wynik.

π		π		π2		π
	(		− 1) =		−
4		2		8		4

jc: Gratuluję, Twój rachunek był prostszy (bez podstawiania).

gracjan: Dziekuje tobie za pomoc super ze sie zgadza

jc: Dodam, że jak sam widzisz, całka jest iloczynem całek, a całka względem kąta jest oczywista, więc lepiej od nie zacząć, zamiast wielokrotnie przepisywać.

gracjan: nie bardzo rozumiem o co chodzi zbytnio