Całka podwójna Damian#UDM: Oblicz ∫∫_D√R²−x²−y²dxdy , gdzie D={(x,y): x²+y²−Rx≤0, y≤0}. Wykonaj rysunek. Współrzędne biegunowe

⎧	x=r*cos(α)
⎨	y=r*sin(α)
⎩	J|α,r|=r

I w sumie tutaj mam największy problem, ponieważ nie wiem co to jest to R, zakładam, że po prostu jakaś stała, a nie promień tego okręgu 0≤r≤Rcos(α) π≤α≤2π ∫∫_D√R²−x²−y²dxdy=∫^2π_π∫^Rcos(α)₀r√R²−r²drdα Podstawienie R²−r²=t |' −2rdr=dt

	dt
dr=
	−2

t₁≤r≤t₂ t₁=R²−0²=R² t₂=R²−R²cos²(α) ∫^2π_π∫^Rcos(α)₀r√R²−r²drdα= Dobra, znalazłem błąd

Damian#UDM: Po podstawieniu i obliczeniu jednej całki otrzymałem:

−R3
	∫2ππ(sin3(α)−1)dα
3

chichi: x²+y²−Rx ≤ 0

	1		1
(x−		R)2+y2 ≤		R2
	2		4

Damian#UDM: To też mam

chichi: W takim razie nie rozumiem tych pytań... "I w sumie tutaj mam największy problem, ponieważ nie wiem co to jest to R, zakładam, że po prostu jakaś stała, a nie promień tego okręgu" Jakiego okręgu? Stała, a nie promień, o co chodzi?

Damian#UDM: Ważne, ze ja rozumiem 😁

jc: Zamiana y na −y nic nie zmieni. Można więc wybrać 0 ≤ a ≤ π/2.

	R3		R3		2R3
Wynik =		∫0π/2 (sin a)3 da =		∫01 (1−c2) dc =
	3		3		9

Damian#UDM: Czemu taka parametryzacja kąta? 0≤α≤^π₂

Damian#UDM: Ja nie zamieniałem y na −y tylko po podstawieniu otrzymałem minus R²−r²=t |' −2rdr=dt dr=^dt_−2r

jc: Matematyka jest wystarczająca trudna i lepiej nie komplikować rachunków liczbami ujemnymi.

Damian#UDM: A czemu występuje taka parametryzacja dla kąta alfa?

jc: Oj, możesz wziąć kąty od −π/2 do 0 (bez zamiany y na −y)

Damian#UDM: Tylko to jest zasięg dla 90 stopni, a u mnie jest 180 stopni i tego nie rozumiem. Mamy ograniczenie y≤0, czyli wszystko pod osią x i znajdujące się w tym okręgu. A pod osią x mam zasięg kąta od 180 stopni do 360 stopni. Co robię źle? Proszę o pomoc

jc:

jc: Półkole leży w prawej dolnej ćwiartce.