Równanie różniczkowe II rzędu o niestałych współczynnikach Damian#UDM: Rozwiąż równanie różniczkowe: x²y^''+5xy^'+4y=0

Mariusz: Podstaw sobie x=e^t a otrzymasz równanie o stałych współczynnikach x=e^t

dx
	=et
dt

dy		dy	dt
	=
dx		dt	dx

dy		dy
	=		e−t
dx		dt

	dy		dy
x		=et		e−t
	dx		dt

	dy		dy
x		=
	dx		dt

d2y		d		dy
	=		(		)
dx2		dx		dx

d2y		d		dy	dt		dt
	=		(			)
dx2		dt		dt	dx		dx

d2y		d		dy
	=		(		e−t)e−t
dx2		dt		dt

d2y		d2y		dy
	=(		e−t−e−t		)e−t
dx2		dt2		dt

d2y		d2y		dy
	=(		−		)e−2t
dx2		dt2		dt

	d2y		d2y		dy
x2		=e2t(		−		)e−2t
	dx2		dt2		dt

	d2y		d2y		dy
x2		=(		−		)
	dx2		dt2		dt

Mamy zatem

	d2y		dy		dy
(		−		)+5		+4y=0
	dt2		dt		dt

d2y		dy
	+4		+4y=0
dt2		dt

Co można zapisać jako y'' + 4y' + 4y=0 Teraz próbujesz rozwiązanie y=e^λt i otrzymujesz do rozwiązania równanie kwadratowe

Damian#UDM: Dziękuję Mariusz za pomoc, przeanalizuje to!

Damian#UDM: Zadanie 2. Rozwiąż równanie różniczkowe y^''+y=x+2e^x 1. RRJ y^''+y=0 2. Podstawienie y=e^rx 3. Otrzymujemy pierwiastki r=±i 4. CORR y_o=C₁*cos(x)+C₂*sin(x), C₁ i C₂ ∊ R 5. Metoda przewidywań Jak nią rozwiązać powyższe równanie? Proszę o pomoc

kerajs: Przewidywana całka szczególna: y_s=Ax+B+Ce^x Liczę: y'=A+Ce^x y''=Ce^x i wstawiam wyniki do równania niejednorodnego (Ce^x)+(Ax+B+Ce^x)=x+2e^x a stąd: A=1 ∧ B=0 ∧ C=1 czyli: y_s=x+e^x Rozwiązaniem równania jest suma uzyskanych wyników y=y₀+y_s y=C₁sin x +C₂cos x+x+e^x

Damian#UDM: Dziękuję za obliczenie, lecz mnie najbardziej interesuje skąd mam wywnioskować, że przewidywana całka szczególna to będzie właśnie y_s=Ax+B+Ce^x bo to już jest suma dwóch funkcji. Wiem jak się to robi dla pojedynczych, np. x²+x+1 lub xe^x, ale dla takich jak w tym zadaniu powyższym to nie wiem. Proszę o pomoc

kerajs: Zacznij korzystać z podręczników, a przekonasz się, że w większości z nich jest pomocna tabelka pokazująca dla jakiej postaci części niejednorodnej można zastosować metodę przewidywania. Przepisywanie jej tu jest pracochłonne i mało sensowne. Wersja skompresowana: https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=45&t=140782

Mariusz: A to musisz metodą przewidywań ? Uzmiennianie stałych jest bardziej ogólne a metoda operatorowa (przekształcenie Laplace) wygodniejsze niż przewidywanie

Mariusz: Jeśli masz po prawej stronie masz funkcję postaci P(x)e^axcos(bx) bądź P(x)e^axsin(bx) , gdzie P(x) jest wielomianem to patrzysz ilukrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego jest a+bi Załóżmy że a+bi jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego rozwiązanie szczególne przewidujesz wtedy jako x^k(P₁(x)e^axcos(bx)+P₂(x)e^axsin(bx)) przy czym P₁(x) oraz P₂(x) są wielomianami tego samego stopnia co P(x)

kerajs: ''Mariusz: Uzmiennianie stałych jest bardziej ogólne'' Owszem, jednak jest także dużo bardziej praco− i czasochłonne. Liczenie przewidywanych stałych jest o wiele prostsze niż całek dla uzmiennionych stałych. I obarczone znacznie mniejszym prawdopodobieństwem zrobienia błędu. Najlepiej znać oba sposoby. ''Mariusz: a metoda operatorowa (przekształcenie Laplace) wygodniejsze niż przewidywanie'' Polemizowałbym. Potrzebna jest dodatkowa wiedza o transformatach, a wynik to jedna funkcja zamiast całej rodziny funkcji.

Mariusz: Niekoniecznie jedna funkcja gdy za warunki początkowe przyjmiesz dowolne stałe masz tą swoją rodzinę Tylko wyznawcom jedynie słusznej metody trudno zaakceptować że nie jest ona ani ogólna ani wygodna w użyciu W przewidywaniu zapamiętujesz bez uzasadnienia natomiast tutaj gdy zapomnisz tą dodatkową wiedzę to wszystko co potrzebne możesz wyprowadzić z całki niewłaściwej ∫₀^∞f(t)e^−stdt

Mariusz: Z tym co napisałeś we wpisie z 12 sty 2022 23:49 o uzmiennianiu stałych to się zgodzę jednak metodę operatorową można stosować w tym samym przypadku co przewidywanie i wcale nie jest tak że dostajemy tylko jedną funkcję Tak jak wcześniej napisałem całą tę dodatkową wiedzę można sobie w razie potrzeby wyprowadzić a przewidywania uczysz się tępo na pamięć i w przypadku gdy zapomnisz jak należało przewidywać nie rozwiążesz równania