funkcje Sampas: 1) Niech f:X1→Y1 i g:X2→Y2 będą iniektywnymi odwzorowaniami. Pokaż, że (f∘g)⁻¹ =f⁻¹∘g⁻¹ 2) Udowodnij twierdzenie: jeżeli g∘f i f∘g są identycznościami na zbiorze X, to g=f⁻¹ Odnośnie pierwszego to wiem, że jeśli f i g są iniekcjami to ich złożenie również jest iniekcją, i ,,normalnie'' (f∘g)⁻¹=g⁻¹∘f⁻¹ Chciałem pokazać ,że f∘g∘f⁻¹∘g⁻¹ to identyczność, ale nie bardzo wiem co dalej... Odnośnie drugiego Chcemy pokazać ,że g=f⁻¹ wiemy, że f∘f⁻¹=idy f⁻¹∘f=idx zatem f∘g=f∘f⁻¹=idy=idx g∘f=f⁻¹∘f=idx czy to dobre rozumowamie? z góry dziekuje

PW: Cytuję: Odnośnie pierwszego to wiem, że jeśli f i g są iniekcjami to ich złożenie również jest iniekcją, i ,,normalnie'' (f∘g)⁻¹=g⁻¹∘f⁻¹ Rozważmy przykład (bierzemy pod uwagę tylko samochody mające jednego właściciela i ludzi mających tylko jeden samochód) g przyporządkowuje tablicy rejestracyjnej odpowiedni samochód f przyporządkowuje samochodowi właściciela Złożenie (f∘g) działa następująco: tablica rejestracyjna → samochód → właściciel Przekształcenie odwrotne (f∘g)⁻¹ działa odwrotnie, czyli właściciel → samochód → tablica rejestracyjna Zgadza się to co napisałeś: (f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹. Teza postawiona w zadaniu jest jednak fałszywa. (f∘g)⁻¹ ≠ f⁻¹∘g⁻¹ − złożenie po prawej stronie działa tak: samochód → tablica rejestracyjna → właściciel, a więc ma inną dziedzinę i zbiór wartości niż funkcja po lewej stronie

PW: A tak naprawdę jest jeszcze gorzej − nie można utworzyć f⁻¹(tablica rejestracyjna) − dziedziną funkcji f⁻¹ jest zbiór właścicieli, a nie tablic. Należałoby więc poprawić przedostatni wiersz − nie można utworzyć złożenia po prawej stronie.

PW: I jeszcze jedna uwaga fo treści zadania. Piszesz Niech f:X1→Y1 i g:X2→Y2 ... Bez dodatkowych założeń co do zbiorów − dziedzin i przeciwdziedzin funkcji − mówienie o złożeniach może nie mieć sensu.

Sampas: czyli to zadanie pierwsze jest zle ulozone? a co z drugim?

PW: Drugie jest dobrze: g∘f jest identycznością, a więc działa tak: (1) x → y → x. Funkcja f dowolnemu elementowi 'x' przyporządkowuje jakś element 'y', a żeby złożenie było identycznością, to g musi elementowi 'y' przyporządkować 'x'. f∘g jest identycznością, zatem działa tak: (2) y → x → y. Widać więc, że (1') g(y) = x i (2') f(x) = y, co oznacza, że g = f⁻¹.