Konstrukcja dziesięciokąta wykorzystująca proporcje proste Mariusz: https://imgur.com/a/oQ5LjHw Jak skonstruować dziesięciokąt zgodnie z tym co na rysunku

a7: 1. mamy dany okrąg a w nim pięciokąt foremny 2. rysujemy środkową kąta AOB 3. rysujemy A'B' (na odpowiednio odległym punkcie środkowej kata AOB wyznaczamy punkt przez który prowadzimy symetralną i rysujemy odcinek A'B') 4.rysujemy proste A'A i B"B przechodzące odpowiednio przez półproste OA i OB i mamy R.

a7: poprawka: 4. rysujemy proste A'A i B'B ....

Mariusz: A jakiś dokładniejszy opis tej konstrukcji bo utknąłem na tej konstrukcji tego odcinka A'B' Wg mnie problem z twoim opisem konstrukcji jest tutaj "na odpowiednio odległym punkcie środkowej kata AOB wyznaczamy punkt przez który prowadzimy symetralną i rysujemy odcinek A'B' " Ten krok nie jest sprecyzowany Mamy z góry zadaną długość tego odcinka AB i chyba tak dowolnie nie możemy wybrać tego środka odcinka A'B' Na razie skonstruowałem środkową kąta AOB oraz te proste zaznaczone na czarno

a7: chodziło mi o to, żeby ten odcinek A'B' był dalej (od środka okręgu) niż odcinek AB

a7:

a7: oj pomyliłam się w rysunku

a7:

a7: czy już wiesz o co mi chodzilo?

a7: ten środek odcinka A'B' po prostu wg rysunku musi być gdzieś dalej − musi się zmieścić na kartce

a7: A'B' musi być "węższe" niż ramiona kąta AOB

a7: A'B' musi być na tyle daleko aby mieściło się między ramionami kata AOB.

a7: 1. rysujemy dwusieczną kąta AOB (czerwona przerywana na moim rysunku) 2. wyznaczamy punkt na tej dwusiecznej (w dowolnym miejscu ale lepiej zostawić trochę miejsca to wyjdzie jak na rysunku wzorcowym) 3. przez wyznaczony punkt kreślimy symetralną tej dwusiecznej 4. na tej symetralnej kreślimy odcinek A'B' tak aby jego środek był w tym wybranym wcześniej punkcie 5.przez punkty A' i B' prowadzimy dwie proste prostopadłe do tej symetralnej 6. proste prostopadłe z punktu 5 przetną ramiona kąta AOB w punktach A oraz B wyznaczając bok dziesięciokąta 7. szukany promień R to odcinek łączący środek pierwotnie danego okręgu z wyznaczonymi w punkcie 6 punktami.

Mariusz: Autor tego rysunku napisał że proste tego samego koloru są równoległe i tutaj chyba prosta O'A' miała być niebieska Długość odcinka A'B' jest z góry zadana Nie dałoby tu rady skorzystać z twierdzenia Talesa bądź podobieństwa figur Duża liczba prostych równoległych wskazywałaby na możliwość użycia twierdzenia Talesa bądź podobieństwa figur Jeżeli wybierzemy środek odcinka A'B' w miarę dowolnie to po poprowadzeniu równoległej do AB (gdzie A oraz B to punkty na okręgu k) i przechodzącej przez punkt ten wybrany środek możemy nie otrzymać odcinka o takiej długości jaką byśmy chcieli Konstruowane figury mają być podobne (równość miar kątów ma być zachowana a długości boków mają być proporcjonalne) To też autor tego rysunku zdążył napisać Niestety autor rysunku już nic więcej nie napisze

a7: nie no, ja nie rozumiem czego Ty nie rozumiesz, mi się wszystko wydaje zrozumiałe czy dobrze rozumiem, że jest dany okrąg z pięciokątem oraz odcinek AB jako długość boku docelowego dziesięciokąta?

a7: i chcesz to wyznaczyć konstrukcyjnie

a7: tu nie chodzi o policzenie tylko o wyznaczenie konstrukcyjne, więc o co Ci chodzi z tym tw. Talesa

a7: AB to u mnie niebieski odcinek na rysunku 00:55

Mariusz: Ja kostruowałem tak jak on sugerował czyli konstruując proste równoległe, środkową AOB , a prostą O'A' z odłożenia kąta choć na moje oko też można z prostej równoległej

a7: ale jak zaczynamy rysować to mamy tylko okrąg z pieciokatem z katem AOB oraz z odcinkiem AB wolnym

a7: środkowa AOB czyli dwusieczna kąta AOB

a7: no to wszystko się zgadza

Mariusz: Tak ale z twierdzenia Talesa bądź podobieństwa figur układasz proporcje które możesz później wykorzystać

a7: nie rozumiem czego nie rozumiesz...

a7: ale tu chodzi o konstrukcję geometryczną, a nie o obliczenie, czy o jedno i drugie?

a7: pytałeś na poczatku jak skonstruować dzieisęciokat zgodnie z tym co na rysunku, no i to jest dla mnie zrozumiałe nie rozumiemczego nie rozumiesz i dlaczego chcesz tutaj "wciskać"tw. Talesa

a7: czerwone proste z rysunku wyjściowego sa równoległe zgadza się

a7: u mnie (00:55) zielona, niebieska i szara

a7: środek odcinka AB wyznaczamy geometrycznie ale na dwusiecznej wybieramy dowolnie jego umiejscowienie, potem jej symetralną i nanosimy po połowie odcinka A'B' może o to Ci chodzi?

Mariusz: Jeżeli chodzi o twierdzenie Talesa to pytanie pomocnicze Jak skonstruujesz odcinek będący iloczynem i jak uzasadnisz poprawność konstrukcji ? Tu mamy do czynienia z proporcjonalnością odcinków czyli w pewnym sensie mnożenie jest Długość odcinka AB jest z góry zadana i tego środka nie można tak dowolnie wybrać

a7: środek odcinka AB wyznaczamy na zadanym odcinku potem go nanosimy połowami na symetralną dwusiecznej AOB (autor rysunku ma na rysunku punkty A oraz B dlatego ja te oznaczające bok dziesięciokąta pogrubiam {P[A]] oraz {P[B]]

a7: sorry, ale chyba komplikujesz coś czego autor rysunku nie miał na myśli

a7: tu wszystko prostymi ruchami można zrobić

a7: 03:06 miało być "A oraz B"

a7: 03:06 nie na symetralną tylko na prostą prostopadłą do dwusiecznej (przepraszam za nieścisłość)

a7: na czerwony punkt z rysunku 00:55 nanosimy połowy (zadanego) odcinka AB i mamy punkty A' oraz B' teraz przez te punkty prowadzimy proste prostopadłe do szarej prostej (A'B') i na przecięciu z ramionami kata AOB otrzymujemy punkty A oraz B czyli mamy już zadany bok dziesięciokąta w tej konstrukcji geometrycznej (o co nam chodziło) oraz promień okręgu, w który ten dziesięciokąt jest wpisany

a7: a to do pracy licencjackiej?

a7: zaliczeniowej?

a7: wzór na promień okręgu opisanego 9zresztą wpisanego też) w zależności od długości boku jest znany także tw. Talesa tu raczej zbędne https://pl.wikipedia.org/wiki/Dziesi%C4%99ciok%C4%85t_foremny

Mariusz: "czy dobrze rozumiem, że jest dany okrąg z pięciokątem oraz odcinek AB jako długość boku docelowego dziesięciokąta?" Tak z grubsza tak Jeżeli odcinek AB nie jest położony na płaszczyźnie we właściwym miejscu to z tego można by wyjść (na początku konstrukcji znamy długość odcinka AB ale nie wiemy gdzie on się na płaszczyźnie znajduje) Tutaj tak naprawdę chodzi mi o sposób konstrukcji wykorzystujący tzw proporcje proste a ten dziesięciokąt to tylko przykład bo jeśli chodzi o konstruowanie wielokątów o danej długości boku to całkiem niedawno wyprowadziłem dwa dość ogólne sposoby konstrukcji "a to do pracy licencjackiej? zaliczeniowej?" Nie musisz ironizować Zmodyfikowałaś ten jego rysunek U niego konstruowane trójkąty są podobne (cecha kąt kąt kąt) a u ciebie jak to jest ? Tutaj znam miarę kąta i tak na dobrą sprawę położenie tego odcinka A'B' mógłbym policzyć z trygonometrii ale chciałem bez tego Po znalezieniu punktów A Jeżeli chodzi o konstruowanie wielokątów foremnych to samemu po prawie 30 latach jak to miałem w szkole wyprowadziłem dwie dość ogólne konstrukcje które działają o ile potrafimy skonstruować potrzebne kąty (Jedna konstrukcja bazuje na konstrukcji trójkąta równoramiennego −tutaj potrzebnym kątem jest kąt środkowy Druga konstrukcja bazuje na konstrukcji kąta zewnętrznego − przyległego do wewnętrznego) Jedyne co miałem do dyspozycji to pomocnicze konstrukcje z tablic Jak ty piszesz te pogrubione litery ? Wklejasz z zewnętrznego edytora czy jak

a7: pogrubione litery pisze się [ P [ litera ] ] bez spacji

a7: nie ironizowałam

a7: pytałam się z ciekawości

a7: u mnie tez trójkaty są podobne

a7: czy zauważyłeś, że punkt B na okręgu też trzeba wyznaczyć na początku konstrukcji?

a7: bo ja dalej nie rozumiem czego Ty nie rozumiesz...

a7: tutaj nie którzy się zgadują na discordzie jak mi podasz swojego (np.tymczasowego) maila to odpisze i się możemy zgadać to będzie łatwiej (?), ale ja nie jestem jakąs specjalistką

a7: położenie odcinka A'B' jest dowolne

a7: byleby był prostopadły to dwusiecznej i przecinał tę dwusieczną w swojej połowie

a7: ale Ty w takim razie nie jesteś tym tutejszym Mariuszem m.in. od całek? (skoro nie umiesz pisać pogrubionych liter?0

a7: poprawki: niektórzy, do dwusiecznej , pogrubionych liter)

a7: (to znaczy ja nie mam discorda, ale jakoś się możemy zgadać)

a7: z tego, co napisałeś 05:04 mam wrażenie, że masz zaćmienie umysłu jak się robi konstrukcje geometryczne druga możliwość to taka, że Twoim naukowym celem jest ta inna rzecz i ta (pomocnicza konstrukcja) namieszała Ci w głowie a ja nie wiem do czego tak właściwie dążysz, jednak nadal podtrzymuję , że moja konstrukcja (odczytanie intencji autora pierwotnego rysunku) wydaje mi się prawidłowe

a7: i nie jest to ironia tylko próbuję zrozumieć czego nie rozumiesz

a7: mogę przesłać Ci link do tablicy wirtualnej i wytłumaczyć interaktywnie, to może się uda

a7: 1. wyznaczamy punkt B 2. wyznaczamy dwusieczną (zwaną w pierwotnym rysunku środkową kata AOB) 3. dzielimy dany odcinek AB na pół

a7: 4. na dwusiecznej wybieramy (dowolonie punkt, do którego kreslimy prosta prostopadłą) 5. na tę prostą prostopadłą nanosimy połówki odcinka AB 6. kreślimy proste prostopadłe do niebieskiej prostopadłej do dwusiecznej i one wyznaczają nam punkty A oraz B 7. zrobione

a7: czy teraz już wiadomo dlaczego taka kolejność o które trójkąty są do siebie podobne (jesli to w ogóle ma tu znaczenie)

a7: ?

Mariusz: "położenie odcinka A'B' jest dowolne" a to na pewno będziemy mieli taki sam rysunek jak u niego Autor tego rysunku zmarł jakiś miesiąc i trzy tygodnie temu Jeśli chodzi o punkt B na okręgu k to on do jego znalezienia poprowadził prostą równoległą Jeżeli środek odcinka A'B' wybierzesz dowolnie to albo trójkąt A'O'B' nie zachowa cechy (kąt kąt kąt) i nie będzie podobny do trójkąta AOB (gdzie A oraz B na okręgu k) Nie napisał szczegółowego opisu konstrukcji ale chyba wiem jak skonstruować ten trójkąt podobny A'O'B' aczkolwiek rzeczywiście będzie dość sporo kroków konstrukcji

a7: punkt B na okręgu k wyznaczamy (moim zdaniem) przez symetralną dla AC (czyli przez symetralną boku pięciokąta aby mieć propocjonalny (ale nie w tym Twoim znaczeniu) wyjściowy bok dziesięciokąta), a ta prosta jest albo pomocnicza albo ma inne znaczenie)

a7: O' powstaje automatycznie przez przecięcie przez dwusieczną okręgu k, i trójkąt A'O'B' tez powstaje "przy okazji"

a7: położenie odcinka A'B' jest dowolne gdyż może być nawet między odcinkiem AB i odcinkiem AB i też wyjdzie dziesięciokąt foremny, ale oczywiście jesli narysujesz ten czerwony punkt odpowiednio dalej to będziesz miał podobnie jak na rysunku pierwotnym, chodzi (moim zdaniem) o to, żeby skonstruować dziesięciokąt foremny o zadanym boku, zadaną metodą, anie gdzie ma być który odcinek tylko aby była jasna metoda, która podążał autor

a7: tzn. rozumiem, że autor wymyślił, ja próbowałam za nim podążyć...

a7: Ś.p Autor zrobił notatki do rysunku, które pozwalają się domyslić tego, co ja Ci tu bardzo szczegółowo rozpisałam, mam wrażenie, że może ja zbyt prosto podchodze do tematu, ale mi się wszytsko zgadza, a Ty mam wrażenie że próbujesz skomplikować prostą sprawę

Mariusz: "((jesli to w ogóle ma tu znaczenie)" Jak to podobieństwo trójkątów nie ma tutaj znaczenia przecież mając skonstruowany pięciokąt , skonstruowaliśmy dwusieczną kąta środkowego przez co dostaliśmy kąt środkowy dziesięciokąta i teraz musimy zmienić proporcjonalnie długości boków czyli dalsze konstrukcje muszą zachowywać podobieństwo On napisał że po znalezieniu kąta środkowego wystarczy rysunek przeskalować aby długość boku była równa zadanej długości Zmodyfikowałaś nieco jego sposób co nie znaczy że nie jest poprawny

a7: dlaczego musimy zmienić (proporcjonalnie) długości boków? zrozumiałam, że AB jest dany

a7: i tak pisze AUTOR

a7: (AUTOR rysunku)

a7: a faktycznie, że chyba coś zmodyfikowałam

a7: to mi się wydaje, że ta metoda jest jeszcze bardziej uniwersalna, bo już nie trzeba nic przeskalowywać

a7: czyli też szybsza oraz prostsza

a7: z tymże ja chyba nie wiem jaki to ma związek z proporcjami, gdyż ja (tylko) wiem jak skonstruować po prostu dziesięciokąt o zadanym boku mając dany okrąg z wpisanym pięciokątem , nie wiem gdzie tu proporcjonalność, także może dlatego ta modyfikacja jest zbytnim uproszczeniem (?)

Mariusz: Gdybyśmy chcieli narysować konstrukcję identyczną jak konstrukcja ś. p. autora to Na boku wyznaczamy odcinek o długości będącej skalą podobieństwa (zgadnij z czego korzystamy) Jeden z punktów A' bądź B' znajdujemy skalując jeden z boków skonstruowanego wcześniej trójkąta (zgadnij z czego korzystamy) Odcinek A'B' znajdujemy prowadząc prostą równoległą do AB i przechodzącą przez skonstruowany wcześniej punkt Mając skonstruowane dwa boki trójkąta trzeci też dostaniemy Gdy już będziemy mieli odcinek A'B' to odcinek AB też znajdziemy (Tak jak ś. p. autor sugerował z prostych równoległych do środkowej AOB) Twoja konstrukcja nie jest aż tak do końca zgodna z jego konstrukcją ale za to jest mniej skomplikowana

a7: ok, w każdym bądź razie rozumiem, że Twój problem już rozwiązany?

Mariusz: Jest dana tylko długość boku , nie wiemy na początku konstrukcji gdzie na płaszczyźnie ten odcinek AB się znajduje

Mariusz: Chyba że znajdziesz prostszy sposób na uzyskanie tego samego efektu Jeszcze sprawdzę w Geogebrze co wyjdzie z tej konstrukcji

a7: no oczywiście, ale myślałam, że już dwa razy wytłmaczyłam jak to zrobić i nawet proponowałam zgadanie się poza forum, także ja już się chyba wyłączam z wątku, może Mila lub Eta lub jeszcze ktoś Ci wyjaśni

a7: no przecież uzyskałam efekt dziesięciokąta z wyznaczeniem gdzie na płaszczyźnie znajdzie się zadany odcinek AB względem okręgu

a7: naprawde nie rozumiem czego nie rozumiesz , chyba masz na myśli jeszcze głebszą treść tego zagadnienia albo wógle nie podążyłes za moim (jednak cierpliwym) i dwukrotnym tłumaczeniem

a7: jeśli chodzi o wykorzystanie proporcji odcinków w tym rysunku to musiałabym się zastanowić, ale zaraz spróbuję

a7: nie chyba tego nie umiem tak łatwo zaadaptować do swojego sposobu patrzenia

Mariusz: Wypróbowałem ten jego sposób w Geogebrze przy czym trzymałem się ściśle jego konstrukcji bez żadnych modyfikacji i działa ale było dużo kreślenia Gdybyśmy mieli zrealizować ją na papierze to trzeba by było zaopatrzyć się także w dobrze zaostrzony ołówek z gumką liniał i cyrkiel No autor tego rysunku nazwał przedstawiony tutaj sposób konstrukcji metodą proporcji prostych Ułóż sobie z tw Talesa proporcje które pomogą ci znaleźć odcinek o długości będącej skalą podobieństwa a następnie przypomnij sobie jak się ilustrowało twierdzenie Talesa Następnie ułóż sobie z tw Talesa proporcje które pozwolą ci przeskalować jeden z boków a następnie przypomnij sobie jak się ilustrowało twierdzenie Talesa Pozostałych boków nie trzeba skalować bo wystarczy poprowadzić prostą równoległą aby znaleźć bok A'B' Trzeci bok tego podobnego trójkąta dostajemy za darmo jednak nie jest on nam potrzebny

Mariusz: " naprawde nie rozumiem czego nie rozumiesz , chyba masz na myśli jeszcze głebszą treść tego zagadnienia albo wógle nie podążyłes za moim (jednak cierpliwym) i dwukrotnym tłumaczeniem" Ja po prostu chciałem dokładnie odtworzyć tę konstrukcję z jego rysunku Jak się przyjrzeć to on narysował też dwa okręgi a ja tych okręgów nie potrzebowałem Jak ta twoja konstrukcja wygląda na animacji ?

a7: ja nie robiłam animacji

Mariusz: Tak na dobrą sprawę to nie trzeba konstruować odcinka o długości równej skali podobieństwa i aby przeskalować jeden z boków trójkąta AOB w celu otrzymania trójkąta A'O'B' wystarczy raz zastosować twierdzenie Talesa

Mariusz: Trójkąt AOB można przeskalować bez konstruowania pomocniczego trójkąta A'O'B' więc jeśli musimy korzystać z pomocniczego odcinka A'B' to twoja propozycja wydaje się być rozsądna mimo iż nie dostaniemy dokładnie tego co na rysunku

a7: no w każdym bądź razie otrzymamy dziesięciokąt o zadanym odcinku AB − chyba o to chodziło....(?)

Mariusz: Jeszcze jedno 1. rysujemy dwusieczną kąta AOB (czerwona przerywana na moim rysunku) 2. wyznaczamy punkt na tej dwusiecznej (w dowolnym miejscu ale lepiej zostawić trochę miejsca to wyjdzie jak na rysunku wzorcowym) 3. przez wyznaczony punkt kreślimy symetralną tej dwusiecznej 4. na tej symetralnej kreślimy odcinek A'B' tak aby jego środek był w tym wybranym wcześniej punkcie 5.przez punkty A' i B' prowadzimy dwie proste prostopadłe do tej symetralnej 6. proste prostopadłe z punktu 5 przetną ramiona kąta AOB w punktach A oraz B wyznaczając bok dziesięciokąta 7. szukany promień R to odcinek łączący środek pierwotnie danego okręgu z wyznaczonymi w punkcie 6 punktami. Czy w punkcie 5 nie miało być równoległe do symetralnej (lub ewentualnie prostopadłe do A'B') Wypróbuję twoją propozycję w geogebrze −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Gdyby cię zapytano o uzasadnienie poprawności konstrukcji i opisanie poszczególnych kroków konstrukcji z uwzględnieniem tego dlaczego należy wykonać taki a nie inny ciąg kroków to co byś napisała

Mariusz: Wcześniej może za bardzo skupiłem się nad dokładnym odtworzeniem konstrukcji z obrazka i dlatego mi nie pasowało to dowolne położenie odcinka A'B'

Mariusz: A nie jest dobrze ma być prostopadła do środkowej

a7: 09:23 gdyby mnie zapytano o uzasadnienie poprawności konstrukcji, no to chyba bym powtarzała masło maślane w kółko bo skąd wiadomo, że podzielenie odcinka na pół jest poprawne? (to jeden z pierwszych kroków), ta konstrukcja jest dość zdrowo rozsądkowa w moim rozumieniu. nie wiem, gdzie ktoś mógłby mi kazać uzasadniać jej poprawność czy możesz podesłać linka do przykładowego uzasadnienia konstrukcji o podobnym poziomie trudności to coś może spróbuję wymyślić

a7: czyli ok?

a7: z tymże tam jest błąd w nazewnictwie bo to nie jest symetralna a prosta prostopadła do dwusiecznej (już to poprawiałam)

a7: a ok, widzę ze to zauważyłeś jednak 9:48

Mariusz: Właśnie sprawdziłem twoją propozycję i mimo iż różni się nieco od konstrukcji przedstawionej na rysunku to daje poprawną konstrukcję dziesięciokąta o danej długości boku Przykładowo aby uzasadnić poprawność konstrukcji odcinka o długości będącej iloczynem bądź ilorazem długości dwóch danych odcinków korzystasz z twierdzenia Talesa Jeżeli chcesz uzasadnić poprawność konstrukcji odcinka będącego pierwiastkiem kwadratowym z pewnej liczby korzystasz z podobieństwa trójkątów Niech a > b , ponadto niech AB = a będzie średnicą pewnego okręgu W punkcie P takim że AP=b prowadzisz prostopadłą do AB Niech punkt C będzie przecięciem prostopadłej do AB w punkcie P oraz okręgu o którego średnicą jest AB Otrzymujesz dwa trójkąty podobne Teraz aby uzasadnić że długość AC jest równa √ab korzystasz z odpowiednich proporcji ułożonych z tych trójkątów podobnych

a7: ale tu mamy dowolny pięciokąt wpisany w okrąg i dowolny bok AB dziesięciokąta i nie musimy sie posługiwać pojęciami ilorazu/iloczynu(?)

a7: ?

ma pytanie: ok, znalazłam pdf, w którym sa uzasadnienia konstrukcji, spróbuję się im przyjrzeć i uzasadnić tę "moją"

a7: znalazłam pdf, w którym są uzasadnienia konstrukcji, spróbuję się im przyjrzeć i uzasadnić tę "moją"

Mariusz: Skoro upraszczamy tę jego konstrukcję to nie musimy konstruować dwusiecznych bo kąt 18° możemy dostać dopełniając kąt środkowy pięciokąta do kąta prostego (Konstrukcja dwóch prostopadłych średnic jest etapem konstrukcji pięciokąta wpisanego w okrąg)

a7: no ale wtedy nie będzie ramion kąta AOB i to będzie zupełnie co innego raczej

a7: poza tym dopełnienia kata srodkowego pięciokata do kąta prostego też trzeba konstruować a rysunek/konstrukcja robi się nieczytelny a przynajmniej mniej czytelny i wcale nie taki prosty jak był (moim zdaniem)

Mariusz: Prowadzimy prostopadłą do OA przechodzącą przez O Zaznaczamy punkt przecięcia tej prostopadłej i okręgu k i mamy kąt 18° który w razie potrzeby możemy przenieść okręgiem w inne miejsce Poza tym konstrukcje tych prostych prostopadłych dostajemy podczas konstrukcji pięciokąta foremnego znanymi sposobami

a7: możliwe..., ale nie rozumiem czy mam potwierdzić, że rozumiem Twoją konstrukcję? czy też jest poprawna?

a7: ja nie jestem jakąś specjalistką wielką, tylko ta wyjściowa chyba była bardziej intuicyjna...

Mariusz: Jakiś czas temu wyprowadziłem dwa sposoby konstrukcji wielokątów foremnych o danej długości boku Pierwszy sposób konstrukcji opierał się na konstrukcji trójkąta równoramiennego gdzie kąty przy podstawie miały miarę równą połowie miary kąta wewnętrznego wielokąta a kąt między ramionami był kątem środkowym wielokąta (Dla pięciokąta foremnego kąt o mierze równej połowie miary kąta wewnętrznego można dostać z wartości sinusa)

	√5+1		1   2
sin(54°)=		co można zapisać jako
	4		√5−1   2

czyli potrzebujemy zbudować taki trójkąt w którym przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta

	1		√5−1
jest równa		a a przeciwprostokątna jest równa		a ,
	2		2

gdzie a jest daną długością boku

	√5−1
Aby skonstruować odcinek		a konstruujemy trójkąt prostokątny
	2

	1
o długościach boków a oraz		a wtedy z tw Pitagorasa długość przeciwprostokątnej
	2

tego trójkąta będzie równa ...

	1
Następnie na jednym z końców tej przeciwprostokątnej rysujemy okrąg o promieniu		a
	2

i tak otrzymujemy kąt 54° Drugi sposób to konstrukcja kąta zewnętrznego a następnie wyznaczenie środka okręgu opisanego na wielokącie foremnym Dla pięciokąta wyglądałoby to tak

	√5−1		1   2
Wiemy że cos(72°) =		co można zapisać jako
	4		√5+1   2

	√5+1
Konstrukcję odcinka		a
	2

można przeprowadzić analogicznie jak w przypadku pierwszej konstrukcji Mając kąt zewnętrzny mamy także kąt wewnętrzny (są to kąty przyległe) Niech wierzchołek kąta wewnętrznego będzie środkiem okręgu o promieniu a dostajemy wtedy dwa boki wielokąta foremnego które są nierównoległymi cięciwami okręgu opisanego na tym wielokącie więc środek okręgu wyznaczymy prowadząc symetralne tych boków Na powyższe konstrukcje sam wpadłem mając do dyspozycji tylko pomocnicze konstrukcje znalezione w tablicach

a7: może to powinieneś gdzieś opublikować? (poza forami)

Mariusz: W konstrukcjach które wyprowadziłem podwajanie liczby boków odbywa się z wykorzystaniem twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku Obawiam się że te dwa sposoby konstrukcji są znane więc publikacja nie ma sensu

a7: rozumiem