Dowód z podzielnością Btk: Uzasadnij, że dla dowolnej liczby nieparzystej n wyrażenie n³ + 3n² − n + 45 jest podzielne przez 24 (2k+1)³ + 3(2k+1)² − (2k+1) + 45 = 8k³ + 12k² + 6k + 1 + 3(4k² + 4k + 1) − 2k − 1 + 45 = 8k³ + 24k² + 16 k + 48 = 8k²(k+3) + 16(k+3) = (k+3)(8k²+16) I teraz nie wiem za bardzo co zrobić dalej, proszę o pomoc

ICSP: Wyciągnij 8 przed nawias i rozważ przypadki: 1^o 3 |k 2^o 3 nie dzieli k

ICSP: ewentualnie można również rozbić: (k+3)(8k² + 16) = 8k(k² + 2) + 24(k² + 2) = 8k(k² − 1 + 3) + 24(k² + 2) = = 8(k−1)k(k+1) + 24k + 24(k² + 2) = 8(k−1)k(k+1) + 24(k² + k + 2) Teraz wystarczy już dopisać dość standardowy komentarz uzasadniający.

Btk: A jeśli chodzi o ten pierwszy sposób to w jaki sposób rozważyć te dwa przypadki? Rozumiem, że jeśli wyciągamy 8 przed nawias to zostaje nam udowodnić podzielność przez 3, ale nie rozumiem w jaki sposób to zapisać?

ICSP: Stosując jakiś matematyczny zapis: W = 8(k+3)(k² + 2) 1^o 3|k Jeśli 3 | k to k = 3l dla pewnej liczby całkowitej l. Wtedy nasze wyrażenie przyjmie wartość W = 24(l+1)(9l² + 2) czyli 24 | W 2^o ... lub też słownie: 1^o 3 | k Jeśli k jest podzielne przez 3 to również k + 3 jest podzielne przez 3 zatem W = 8(k+3)(k² + 2) jest podzielne zarówno przez 8*3 = 24. 2^o ... Ogólna zasada jest taka aby było poprawnie i aby egzaminator zrozumiał.

Btk: Wszystko jasne, dziękuje!

Eta: A może tak : L=(n²−1)(n+3)+48 =(n−1)(n+1)(n−3)+48 dla n=2k+1 mamy: L= 2*2*2*(k−1)k(k+1)+48 −− jest podzielna przez 48 a więc i przez 24 bo (k−1)k(k+1) jest podzielna przez 6 i po ptokach