Dowód Btk: Mam problem jeszcze z takim zadaniem: Wykaż, że dla dowolnych x i y wyrażenie x² + y² ≥ xy jest prawdziwe

ICSP:

	1		3		1		3
L = x2 + y2 = x2 − xy +		y2 +		y2 + xy = (x −		y)2 +		y2 + xy ≥
	4		4		2		4

xy = P

Btk: Dziękuję

PW: Dla rozrywki inny sposób. Jest oczywiste, że gdy liczby x i y są różnych znaków, to badana nierówność jest prawdziwa (lewa strona dodatnia, prawa ujemna). Również dla x = 0 lub y = 0 nierówność jest prawdziwa. Wystarczy więc przeprowadzić dowód dla x i y tych samych znaków. Wówczas xy > 0 i po podzieleniu stronami przez xy nierówność przyjmie postać

	x		y
(*)		+		≥ 1.
	y		x

	x
Lewa strona jest sumą dodatniej liczby		i jej odwrotności, zatem (znana nierówność)
	y

	x		y
		+		≥ 2 ,
	y		x

co oznacza prawdziwość nierówności (*).

Filip: ... x² + y² >= xy x² + y² − xy >= 0

	1		3
(x −		y)2 +		y2 >= 0
	2		4