Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni liniowych V
Ursus: Cześć, czy dobrze rozumiem poniższe zadanie jeżeli nie to w jaki sposób powinienem je
rozwiązać?
Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni liniowych V :
V = { p∊ R
4 [x] : p(1) + p(−1) = p'(0)}
Moje rozumowanie:
p(x) = ax
4 + bx
3 + cx
2 + dx + e
p(1) = a+b+c+d+e
p(−1)=a−b+c−d+e
p'(0)=d
Podstawiając powyższe wartości do wzoru p(1) + p(−1) = p'(0) wychodzi 2a+2c+2e=d,
a więc:
p(x) =ax
4 + bx
3 + cx
2 + (2a+2c+2e)x + e ⇒
⇒ p(x) = a(x
4 + 2) + bx
3 + c(x
2 + 2) + e(1+2x)
Z tego wynika, że wektory (x
4 + 2), x
3, (x
2 + 2), (1+2x) są bazą oraz dimV=4
Aby były bazą muszą być liniowo niezależne i "na oko" to widać ale jak to prawidłowo
stwierdzić?
Posiłkowałem się rozwiązaniem Zadania 2 oraz 3 z
https://www.fuw.edu.pl/~delucas/ALGEBRAIR/Cwiczenia/rozwiazaniaV.pdf
16 gru 21:09
a7: chyba źle przekształcone p(x)=a(x4+2)......
16 gru 21:21
a7: p(x)=a(x4+x)+bx3+c(x2+2x)+e(1+2x)
16 gru 21:23
a7: p(x)= a(x4+2x)......
16 gru 21:26
Ursus: Oczywiście, powinno być:
p(x) = a(x4 + 2x) + bx3 + c(x2 + 2x) + e(1+2x)
I wektory to:
(x4 + 2x), x3, (x2 + 2x), (1+2x)
Czyli, generalnie rozumowanie jest dobre?
Oraz jak udowodnić, że wektory są liniowo niezależne, czy też wystarczy powiedzieć, że widać?
16 gru 21:33
a7: ja nie wiem, tylko wychwyciłam ten drobny błąd
16 gru 21:34
a7: chyba trzeba zrobić macierz 4x4
16 gru 21:37
a7: nie wiem
16 gru 21:40
ABC: Ursus gdzieś ty się uchował , takich słów "posiłkowałem się" to używało pokolenie marszałka
Piłsudskiego
możesz liniową niezależność wektorów udowodnić bezpośrednio z definicji , zakładasz że ich
kombinacja liniowa
wynosi zero i pokazujesz że z tego musi wynikać zerowanie się jej wszystkich współczynników.
16 gru 22:02
Ursus: Czyli aby udowodnić lnz wektorów, układam równanie:
ax
4 + bx
3 + cx
2 + (2a+2c+2e)x + e = 0 i przyrównuje współczynniki, tj.
| ⎧ | a =0 | |
| ⎜ | b=0 | |
| ⎨ | c=0 | ⇔ a=0, b=0, c=0, e=0 więc są one lnz,
|
| ⎜ | 2a+2c+2e=0 | |
| ⎩ | e=0 | |
Mam nadzieję, że dobrze.
Dzięki za pomoc, co do zwrotu "posiłkowałem się" to żyję w dużym mieście i nie przeszło by mi
przez myśl, że może to być archaizm
16 gru 22:58
ABC: źle , bierzesz kombinację liniową wektorów czyli
α(x
4+2x)+β(x
3)+γ(x
2+2x)+δ(1+2x)=0 i dowodzisz że zaprawdę powiadam wam, to pociąga za sobą
α=β=γ=δ=0
16 gru 23:05