wielomiany Uzumaki: siema, mam pytanie. Jak mamy zadanie x3 +5x = 6x² −6 = To zawsze musimy zrobić. x3+5x−6x²+6. I wyszukać liczbę wolną czyli w tym przypadku 6. I szukać każdej możliwej opcji, aby wyszło 0? (1,−1,2,−2,3,−3,6,−6) Czy jest szybszy sposób? Pozdrawiam super stronka

ABC: jest szybszy sposób przy użyciu kalkulatora , teraz dużo modeli ma wbudowane równanie sześcienne

ICSP: Szybszym sposobem jest grupowanie, ale ono wymaga doświadczenia. Sposób z wykorzystaniem twierdzenia o pierwiastkach wymiernych jest bardziej schematyczny.

Uzumaki: Taki kalkulator, chyba nie można używać na maturze

Uzumaki: A polecacie jakiś dobry kalkulator co właśnie ma taką funkcje?

ABC: Casio fx−991 CEX ma nawet równania 4 stopnia i nierówności

Min. Edukacji: od 2023 na maturze będziesz mógł mieć kalkulator naukowy, wystarczy poczekać

ABC: tak na marginesie , w grudniu miał być pierwszy arkusz maturalny próbny 2023 , ktoś wie czy już jest?

PW: Jak pisze ICSP − zauważyć, że (x−2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8, a więc x³ − 6x² + 5x + 6 = (x−2)³ − 7x + 14 = (x − 2)³ − 7(x − 2) i dalej łatwo.

daras: @ABC do sylwestra jeszcze ponad 2 tygodnie

a7: @ w informatorze o maturze 2022/2023 jest kalkulator prosty w przyborach ....

daras: czyżby przestraszyli się opinii ekspertów?

Uzumaki: Casio fx−991 CEX Planuje kupić ten kalkulator warto? Można na nim obliczać wielomiany, x, itp

ABC: ma dużo przydatnych funkcji , jak mówiłem rozwiązuje równania i nierówności do 4 stopnia włącznie,układy równań liniowych do 4 zmiennych, macierze wymiaru 4x4, rozkład normalny , rozkład Bernoulliego , przybliżone całkowanie i różniczkowanie, rozkład liczby na czynniki pierwsze i różne inne

a7: a jaki kalkulator prosty można polecić maturzyście?

Ambroży z fabryki noży: maturalny to powinien mieć dwie cechy −podwójne zasilanie (słoneczne+bateria) , zawsze coś się może popsuć −klawisze wyraźnie reagujące na dotyk dobrze też byłoby mieć wyraźne cyfry na wyświetlaczu

a7: racja, Dziękuję

Mariusz: Jeśli chodzi o schemat rozwiązywania takiego równania to właśnie jest to użycie wzoru skróconego mnożenia Użycie trygonometrii pozwoli ominąć potrzebę korzystania z liczb zespolonych Przypuśćmy że mamy równanie a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0 Chcemy wielomian po naszej lewej stronie zapisać w postaci sumy potęg dwumianu Jaki to dwumian ? Zaraz to się okaże

	a2
a3(x+		)3=
	3a3

	a2		a22		a23
a3(x3+		x2+		x+		)
	a3		3a32		a33

Mariusz:

	a2		a22		a23
a3(x+		)3=a3x3+a2x2+		x+
	3a3		3a3		27a32

	a2		a22		a2
a3(x+		)3+(a1−		)(x+		)=
	3a3		3a3		3a3

	a22		a23
a3x3+a2x2+		x+		+
	3a3		27a32

	a22		a2		a22
(a1−		)x+		(a1−		)
	3a3		3a3		3a3

	a2		a22		a2
a3(x+		)3+(a1−		)(x+		)
	3a3		3a3		3a3

	a23		a2		a22
+a0−		−		(a1−		)=0
	27a32		3a3		3a3

Mamy zatem równanie y³+py+q=0 Teraz korzystamy z wzoru skróconego mnożenia (u+v)³=u³+3u²v+3uv²+v³ Wyciągnijmy wspólny czynnik z środkowych wyrazów (u+v)³ = u³+3(u+v)uv+v³ oraz zmieńmy kolejność składników (u+v)³ = 3uv(u+v)+u³+v³ Wygląda znajomo ? Jeśli tak to możemy już pisać układ równań powstały z porównania współczynników Jeśli nie to wstawiamy y=u+v do równania (u+v)³+p(u+v)+q=0

	p
u3+v3+q+3(u+v)(uv+		)=0
	3

Teraz żądamy aby

	p
u3+v3+q=0 oraz 3(u+v)(uv+		)=0
	3

i mamy układ równań u³+v³+q=0

	p
3(u+v)(uv+		)=0
	3

	p
3(u+v)(uv+		)=0 będzie równe zero gdy jeden z czynników będzie równy zero
	3

ale my założyliśmy że y=u+v więc gdybyśmy przyrównali u+v do zera to byśmy wymusili to że y = 0 więc przyrównujemy do zera ten drugi czynnik u³+v³+q=0

	p
(uv+		)=0
	3

u³+v³=−q

	p
uv=−
	3

Ten układ równań łatwo przekształcić w układ będący wzorami Vieta dla równania kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³ u³+v³=−q

	p3
u3v3=−
	27

	p3
t2+qt−		=0
	27

Teraz gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego występującego po naszej lewej stronie równania jest nieujemny to łatwo rozwiążemy to równanie kwadratowe a co za tym idzie także i równanie trzeciego stopnia Co jednak gdy wyróżnik tego trójmianu kwadratowego jest ujemny ? Czy musimy wtedy bawić się zespolonymi ? Jeżeli je znamy to oczywiście możemy ich użyć ale jeżeli nie to z pomocą przychodzi nam trygonometria Oczywiście dobrze jest co nieco wiedzieć o funkcjach aby sobie zdefiniować funkcję odwrotną do trygonometrycznej (dopóki całki były w średniej to takie funkcje były) cos(2θ)=cos²(θ)−sin²(θ)=cos²(θ)−(1−cos²(θ)) cos(2θ)=2cos²(θ)−1 sin(2θ)=sin(θ)cos(θ)+cos(θ)sin(θ) sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ) cos(3θ)=cos(θ+2θ)=cos(θ)cos(2θ)−sin(θ)sin(2θ) cos(3θ)=cos(θ)(2cos²(θ)−1)−sin(θ)*2sin(θ)cos(θ) cos(3θ)=cos(θ)(2cos²(θ)−1)−2cos(θ)sin²(θ) cos(3θ)=cos(θ)(2cos²(θ)−1)−2cos(θ)(1−cos²(θ)) cos(3θ)=2cos³(θ)−cos(θ)−2cos(θ)+2cos³(θ) cos(3θ)=4cos³(θ)−3cos(θ) Przypomnijmy równanie kwadratowe które otrzymaliśmy

	p3
t2+qt−		=0
	27

	4p3
Δ=q2+
	27

Δ		q2		p3
	=		+
4		4		27

Δ		q		p
	=(		)2+(		)3
4		2		3

Teraz jeżeli

	q		p
(		)2+(		)3 ≥ 0
	2		3

to rozwiązujemy równanie kwadratowe

	p3
t2+qt−		=0
	27

ale jeśli

	q		p
(		)2+(		)3 < 0
	2		3

to wracamy do równania y³+py+q=0 y³+py=−q i zakładamy że rozwiązanie jest postaci y=wcos(θ) w³cos(θ)+pwcos(θ)=−q

	pw		3
Teraz staramy się dobrać takie w aby iloraz		=−
	w3		4

p		3
	=−
w2		4

w2		4
	=−
p		3

	4
w2=−		p
	3

Zatem nasze podstawienie w tym przypadku to y=2√−p/3cos(θ)

	8p
−		√−p/3cos3(θ)+p(2√−p/3cos(θ))=−q
	3

	8p		q
−		cos3(θ)+p(2cos(θ))=−
	3		√−p/3

	3q
4cos3(θ)−3cos(θ)=
	2p*√−p/3

	3q
cos(3θ)=
	2p*√−p/3

	3q
3θ1=cos−1(		)
	2p*√−p/3

	3q
3θ2=cos−1(		)+2π
	2p*√−p/3

	3q
3θ3=cos−1(		)+4π
	2p*√−p/3

gdzie cos⁻¹(x) to funkcja odwrotna do cos(x)

Alina: A ten arkusz nie miał być przypadkiem w grudniu, ale przyszłego roku?

ABC: w tym roku miał być , mają obowiązek dać to 1,5 roku przed nową maturą