Znaleźć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności dla następujących funkcji Nie ogarniam: Znaleźć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności dla następujących funkcji: a) 𝑓(x)= x²−4ln(x+2) b) f(x)= x* √2−x² c) f(x)= |x+1|* (x²−5) d) f(x)= (x³ + x²) * e^2/x po kolei w skrócie pokaże swoje wyniki powiecie czy w ogóle dobrze to rozumiem(wiedzę czerpałem z kilku rozwiązań łatwiejszych przykładów znalezionych w sieci xd) a)

	4
f'(x) =2x −
	x+2

f'(x)=0

2x2 + 4x−4
	=0
x+2

x1=−1+√3 x2=−1−√3 Wpisuję oba iksy na wykres, wydaje mi się że jeśli przy X² był plus to ramiona idą z góry. i Fmax= −1−√3 a Fmin= −1+√3. f rośnie w przedziałach od Fmax= −1−√3 , <−1+√3 , ∞> a maleje w przedziale Fmin= <−1−√3, −1+√3> b) D=[−√2, √2]

	2−2x
f'(x)=
	√2−x2

x1=1, x2=−1 i tu w liczniku przy X² mam minus więc ramiona idą od dołu f'(x)>0 <−1,1> i f'(x)<0 <√2,−1><1,√2> I Fmin= −1 Fmax=1 c) D=R

	3x3+5x2−3x−5
f'(x)=
	|x+1|

dziedzina f'(x) d=R\{−1}

	5
x1=1, x2=−		i tu nie wiem czy −1 z dziedziny nie ma być trzecim iksem, gdzieś widziałem
	3

takie rozwiązanie ale nie jestem pewny dlatego na razie zatrzymałem się tutaj. d) D=r\{0} f'(x)=4x e^2/x−4e^2/x x=1 tu strzelałem że idą ramiona z góry, dochodzą do osi x i stykają się z 1. f(x)>0 <−∞,1><1,+∞> i brak Fmin i Fmax Kolejne zadania mam na szukanie wklęsłości i wypukłości ale puki nie wiem czy rozumiem wyznaczanie ekstremów lokalnych i monotoniczności to nawet nie ruszam

wredulus_pospolitus: (a) Główna uwaga −−− zapomniałeś brać pod uwagę dziedzinę funkcji (b) nie kumam skąd taka pochodna (c) z wartością bezwzględną nie można tak 'pojechać' ... no i skąd w ogóle taka pochodna? (d) źle policzona pochodna

Nie ogarniam: Ok w a) dziedzina to <−2,+∞)

	d		d
b) f'(x)=		(x √2−x2) i tam zasada całkowania		(f*g)
	dx		dx

	d		d
f'(x)=		(x) * √2−x2 + x*		√2−x2
	dx		dx

	1
f'(x)= 1√2−x2+x*		* −2x)
	2 √2−x2

Po uproszczeniu wychodzi ta pochodna I wszystkie inne liczyłem podobnie

chichi: To skąd w takim razie to 2^x w liczniku

Nie ogarniam: Ok teraz widzę że źle napisałem xd trochę gubię się przy pisaniu na tej stronie. po uproszczeniu

	2−2x2
f'(x)=		]
	√2−x2

W c) pochodna liczona podobnie

	d
f(x)=		(|x+1|*(x2−5))
	dx

przekształcam |x+1| na √(x+1)²

	d		d
potem		(√(x+1)2 )*(x2−5)+√(x+1)2 *		*(x2−5)
	dx		dx

i upraszczam do tych (tam mam √(x+1)² i robię z tego po prostu |x+1|, z tego bierze się ta wartość bezwzględna jeśli o to chodziło))

3x3+5x2−3x−5
|x+1|

Nie ogarniam: Więc... nie wiem, wydaje mi się że dobrze mam policzone te pochodne. Jeśli nie to wytłumaczy mi ktoś co robię źle?

Nie ogarniam: W a) jeszcze jak dziedzina funkcji była <−2,+∞> to dziedzina pochodnej jest R\{−2}... Więc jak w przypadku punktu c) nie wiem co zrobić z tą różnicą w dziedzinach

ICSP: Znasz w ogóle definicję pochodnej? W jaki sposób chcesz zdefiniować pochodna funkcji tam gdzie funkcja nie jest określona?

Nie ogarniam: Wydawało mi się że znam ale teraz już wątpię −.− Czyli rozumiem że jeśli dziedzina funkcji i dziedzina jej pochodnej są różne to znaczy że jest brak rozwiązań? Sorry wiem że to upierdliwe, ale nie rozumiem tego.

wredulus_pospolitus: (a) skoro jest taka dziedzina to ją UWZGLEDNIJ później

	1		2 + x − x2
(b) f' = √2−x2 −		*(−2x) =
	2√2−x2		√2−x2

(c) zamiast przekształcać na √(x+1)² ja bym rozbił na funkcję w klamerce (d) a jaka tutaj będzie pochodna?

ICSP: "Czyli rozumiem że jeśli dziedzina funkcji i dziedzina jej pochodnej są różne to znaczy że jest brak rozwiązań?" Co rozumiesz przez brak rozwiązań? f(x) = √x określona dla x ≥ 0

	1
f'(x) =		określona dla x > 0
	2√x

dziedziny są różne, ale nadal mogę użyć pochodnej do zbadania monotoniczności i szukania potencjalnych ekstremów.

chichi: @wredulus₋pospolitus co tam się dzieje w (b)? Odp. autor z 15:55 jest poprawna

wredulus_pospolitus: fakt ... zapomniałem o 'x'

Nie ogarniam: O dzięki właśnie piszę długą odpowiedź i to już uwzględniłem i dopytałem. To skoro wyszło że dziedzinę mam już w porządku to czy dobrze wyznaczyłem ekstremum i monotoniczność? Bo o ile wydawało mi się że pochodne umiem wyznaczyć (już trochę zatraciłem tę wiarę) o tyle nie rozumiem wyznaczania ekstremum i monotoniczność (znaczy ekstrema to te x1 i x2 kture należą do jednocześnie do dziedziny funkcji i pochodnej), ale zupełnie nie wiem jak wyznaczyć na wykresie czy ramiona idą do góry czy na dół.

Nie ogarniam: No ok a)x1 = −1+√3 x2=−1−√3 dziedzina funkcji to od −2 do nieskończoności więc tylko x1 jest "kandydatem" do ekstremum? c) totalnie nie wiem już jak zrobić pokonaliście mnie tym rozbiciem na klamerkę

	d		d
d) pochodna to		(x3+x2) * e2/x + (x3+x2)*		(e2/x)
	dx		dx

Obliczam pochodną funkcji złożonej

	1
f'(x)=(3x3+2x)*e2/x+(x3+x2)*e2/x*(−2*		)
	x2

Po uproszczeniu mam f'(x)=3x²*e^2/x−2e^2/x

Damian#UDM: Definicja modułu dla x:

	⎧	x gdy x≥0
|x| =	⎨
	⎩	−x gdy x<0

Spróbuj teraz przykład c