Gra - prawdopodobieńśtwo
Grzesiek: Adam i Marcin grają w grę − rzucają naprzemiennie dwiema monetami. Zaczyna Adam. Gra się
kończy, gdy Adam wyrzuci na obu monetach orła, albo Marcin wyrzuci orła i reszkę. Kto ma
większe szanse na wygraną?
Moje rozumowanie:
Szansa Adama na wygranie w pierwszym rzucie: 1/4
Szansa Marcina na wygranie w pierwszym rzucie: 3/4 * 1/2 (bo jest 3/4 na to, że Adam nie
wygrał)
Szansa Adama na wygranie w drugim rzucie: 3*4 * 1/2 * 1/4
Szansa Marcina na wygranie w drugim rzucie: 3*4 * 1/2 * 3/4 * 1/2
itd.
Czyli szansa wygrania Marcina po n rzutach to suma od 1 do nieskończoności z szeregu
(3/4*1/2)
n, czyli
| | 3/4 * 1/2 | |
Sn = |
| = 3/5 |
| | 1 − 3/4 * 1/2 | |
Szansa Adama na wygranie po n rzutach to suma od 1 do nieskończoności z szeregu 1/4 *
(3/4*1/2)
n, czyli
S
n = 1/4 * 3/5 = 3/20
Teraz moje pytanie − czy to rozumowanie jest poprawne? Czy ich szansy nie powinny sumować się
do 1?
PW: Może to zbyt skomplikowany sposób.
Pomyślmy inaczej. Gra ma przebieg dwuetapowy.
a) Rzuca Adam i wygrywa (wypadły dwa orły). Koniec gry.
b) Rzuca Adam i przegrywa, zatem rzuca Marcin.
Jest oczywiste, że należy przyjąć iż prawdopodobieństwo wygranej Adama
zaś prawdopodobieństwo wygranej Marcina
Nie trzeba myśleć o "sumowaniu się prawdopodobieństw do 1", gdyż wynik może być jeszcze inny:
żaden nie wygrał (prawdopodobieństwo P(Z) takiego wyniku jest oczywiście równe
Dopiero P(A) + P(M) + P(Z) = 1.
Uzasadnienie tego "jest oczywiste" może polegać na narysowaniu drzewka.
| | 2 | | 3 | |
Widać, że P(A) = |
| < |
| = P(M). |
| | 8 | | 8 | |
Rzucanie monetami jest doświadczeniem losowym − nie podlega emocjom i nie zależy od wyników
poprzednich doświadczeń, a więc gra zaczyna się od nowa.
| | 2 | | 3 | |
Znów P(A) = |
| , zaś P(M) = |
| . |
| | 8 | | 8 | |
Tak będzie za każdym razem, co zgadza się z wyliczeniami poprzedników:
(szansa Adama : szansa Marcina) = (2 : 3).
