Zbadaj, czy poniższa funkcja jest przekształceniem liniowym; Radko: Bardzo prosiłbym też o krótkie i logiczniejsze wyjaśnienie jak poprawnie rozwiązywać warunek 1, L(v1+v2)=L(v1)+L(v2), bo od kilku dni usilnie próbuję jakoś w logiczny sposób poukładać to sobie w głowie i za każdym razem mnie to pokonuje L;R² −−−−>R² L(x,y)= (2x+y, x²)

PW: Przede wszystkim wprowadzić oznaczenia, np. v₁ = (a, b) v₂ = (c, d), wówczas v₁ + v₂ = (a +c, b + d) L(v₁ + v₂) = L(a +c, b+d) = (2(a + b) + (b + d), (a + c)²) (przepis na L mówi: pierwsza współrzędna obrazu to suma podwojonej pierwszej współrzędnej przekształcanego punktu powiększona o drugą współrzędną, zaś druga współrzędna obrazu to kwadrat pierwszej współrzędnej przelształcanego punktu). Tym sanym (1) L(v₁ + v₂) = (2a + 3b + d, (a + c)²) zaś (2) L(v₁) + L(v₂) = (2a + b, a²) + (2c + d, c²) = (2a + b + 2c + d, a² + c²) Jak widać (1) i (2) to różne pary, a więc L nie jest przekształceniem liniowym.

PW: No i pomyliłem się. Ma być (1) L(v₁+v₂) = ... = (2(a+c)+(b+d), (a+c)²) = (2a + 2c + b + d, (a+c)²), co nie zmienia konkluzji − drugie współrzędne (1) i (2) różnią się.

Radko: Dziękuję bardzo Jestem bardzo wdzięczny, trochę mi się rozjaśniło