Wykaż zbieżność ciągu i znajdz jego granice: Adam: Wykaż zbieżność ciągu i znajdz jego granice: a₁ = −1/2 a_n+1 = (a_n − 1) / (a_n + 3) gdzie n jest naturalne Bardzo prosze o pomoc z dokładnym wytłumaczeniem

wredulus_pospolitus: a₁ = −0.5

	4		3
a2 = 1 −		= −
	5/2		5

	4		8		2
a3 = 1 −		= −		= −
	12/5		12		3

	4		5
a4 = 1 −		= −
	7/3		7

	4		12		3
a5 = 1 −		= −		= −
	16/7		16		4

	4		7
a6 = 1 −		= −
	9/4		9

	4		16		4
a7 = 1 −		= −		= −
	20/9		20		5

Widzisz pewną zależność pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu sprawdźmy, czy mamy rację:

	4		4
an+2 = 1 −		= 1 −		=
	an+1 + 3		4   1 − + 3   an+3

	4		1		an + 3
= 1 −		= 1 −		= 1 −		=
	1   4(1 − )   an+3		an+2   an+3		an + 2

	1
= −
	an + 2

	p
niech an =
	q

	1		p+2q − q		q
wtedy: an+2 = −		= −		= −
	p+2q   q		p+2q		p+2q

(dodatkowo przyjmijmy dla prostoty p < 0 ; q > 0)

	q
dla n = 2k+1 sądzimy, że jeżeli p+q = 1 to wtedy an+2 = −
	q+1

a to, że p+q = 1 możemy wykazać indukcyjnie

	q
dla n = 2k sądzimy, że jeżeli p+q = 2 to wtedy an+2 = −
	q+2

a to, że p+q = 2 możemy wykazać indukcyjnie i z takiej postaci łatwo policzyć granicę