wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y spełniona jest nierówność lolik: wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y spełniona jest nierówność ³√(x³+y³)/2 ≤ ⁶√(x⁶+y⁶)/2 nie wiem jak się zabrać za to zadanie :'(

ICSP: Wystarczy powołać się na: https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_mi%C4%99dzy_%C5%9Brednimi_pot%C4%99gowymi

lolik: niestety nie rozumiem tej nierówności między średnimi potęgowymi /poziom: liceum/

ICSP: No to inaczej: Wprost:

	x3 + y3		x3 + y3		(x3 + y3)2
L = (		)1/3 ≤ (|		|)1/3 = (		)1/6 ≤
	2		2		4

	(x3 + y3)2 + (x3 − y3)2		x6 + y6
≤ (		)1/6 = (		)1/6 = P □
	4		2

PW: Dla standardowo myślącego ucznia można zaproponować metodę sprowadzenia do nierówności jednej zmiennej. Jeżeli x = 0 lub y = 0, to nierówność jest prawdziwa w sposób oczywisty. Niech obie liczby x i y będą dodatnie, wówczas po oznaczeniu y = kx, k>0, badana nierówność przyjmie postać

	k3 + 1		k6+1
x 3√		≤ x 6√
	2		2

i równoważnie

	k3 + 1		k6+1
3√		≤ 6√		,
	2		2

a po podniesieniu stronami do potęgi 6:

	k3 + 1		k6+1
(		)2 ≤
	2		2

k⁶ + 2k³ + 1 ≤ 2k⁶ + 2 0 ≤ k⁶ − 2k³ + 1 0 ≤ (k³ − 1)². Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla wszystkich 'k', a więc badana nierówność też jest prawdziwa. Dla x lub y niedodatnich prawdą jest, że

	x3 + y3		|x|3| + |y|3		|x|6 + |y|6
3√		≤ 3√		≤ 6√		=
	2		2		2

(zastosowaaliśmy pierwszą część dowodu)

	x6 + y6
= 6√		,
	2

co kończy dowód.