Ile jest liczb n–cyfrowych podzielnych przez 9 ABBA: Ile jest liczb n–cyfrowych podzielnych przez 9 o cyfrach ze zbioru {0,1,...,8} ? Nie mam na to pomysłu jakaś wskazówka ?

I'm back: 1) czy cyfry mogą się powtarzać? 2) jaka jest reguła podzielności liczby przez 9?

ABBA: 1) Cyfry mogą się powtarzać 2) Regułę oczywiście znam tylko nie wiem jak to przełożyć na te zadanie

wredulus_pospolitus: niech a_n będzie ciągiem którego wyrazy odpowiadają liczbie liczb podzielnych przez 9, mających n cyfr dla dowolnego 'n' będziemy mieli takie oto równanie do rozwiązania: x₁ + x₂ + x₃ + .... + x_n = 9 ale uwaga −−− w rozwiązaniu tym bierzemy pod uwagę także sytuację, gdy x₁ = 0, dlatego też od tej liczby musimy odjąć liczbę rozwiązań równania: x₂ + x₃ + .... + x_n = 9 a jakim wzorem możemy szybko i łatwo zapisać liczbę rozwiązań tego typu rozwiązań

wredulus_pospolitus: dobra ... to jednak nie będzie tak łatwo bo mamy wielokrotność 9 w równaniu

wredulus_pospolitus: to bym podszedł do tego w inny sposób: mamy liczby (n−1)−cyfrowe i jest ich dokładnie 8*9ⁿ⁻². Liczby możemy podzielić na dwie grupy: 1) liczba jest podzielna przez '9' 2) liczba NIE JEST podzielna przez '9' Jeżeli liczba jest podzielna przez '9' ... to ile liczb n−cyfrowych podzielnych przez 9 możemy z niej stworzyć poprzez dopisanie jednej cyfry na końcu ? Odpowiedź ... jedną (dopisujemy 0) Jeżeli liczba jest nie podzielna przez '9', czyli przy dzieleniu przez 9 daje jakąś tam resztę k (k=1,2,3,4,5,6,7,8) ... to ile liczb n−cyfrowych podzielnych przez 9 możemy z niej stworzyć poprzez dopisanie jednej cyfry na końcu ? Odpowiedź ... jedną (dopisujemy taką cyfrę m na końcu aby m + k = 9) Związku z tym −−−> liczba liczb n−cyfrowych podzielnych przez 9 złożonych z podanych cyfr = liczba wszystkich liczb n−1 cyfrowych złożona z podanych cyfr

wredulus_pospolitus: i ma to zastosowanie dla n>2, dlaczego ... ponieważ a₁ = 1 (liczba 0) a₂ = 8 (a nie 9) <−−− ponieważ nie mamy liczby '00' dalej już będzie działało ... więc a₃ = 8*9 = 72 810, 801 720, 711, 702 630, 621, 612, 603 540, 531, 522, 513, 504 450, 441, 432, 423, 414, 405 360, 351, 342, 333, 324, 315, 306 270, 261, 252, 243, 234, 225, 216, 207 180, 171, 162, 153, 144, 135, 126, 117, 108 882, 873, 864, 855, 846, 837, 828 783, 774, 765, 756, 747, 738 684, 675, 666, 657, 648 585, 576, 567, 558 486, 477, 468 387, 378 288 i stąd mamy: 44 + 28 = 72

wredulus_pospolitus: uściślając

	⎧	9 ; dla n=1
an =	⎩	8*9n−2 ; dla n≥2

jest poprawny (ale w rozumowaniu dla n=2 musimy mieć na uwadze, że to nie jest liczba wszystkich jednocyfrowych liczb)

wredulus_pospolitus: tfu ... a₁ = 1 oczywiście

Mila: ad.19:57 Liczyłam dla n=3 za pomocą funkcji tworzącej i wyniki zgadzają się. Równania są z ograniczeniami. Dla n=4 trzeba rozważyć 3 równania. Jeśli zmobilizuję się , to policzę. ABBA nie pisze z jakiego poziomu jest zadanie .

wredulus_pospolitus: @Mila ... właśnie ze względu na to, że nie mamy jednego równania do rozwiązania ... tylko dla dużych 'n' ta liczba będzie niebezpiecznie rosnąc ... dlatego też później zaproponowałem inaczej podejść do problemu

Mila: Wiem. Chciałam później uogólnić.

kerajs: Zero jest problematyczne, gdyż z góry zakładamy że pierwszą cyfrą liczby n−cyfrowej nie może być zerem. Założenie to, a dla wielu aksjomat, okazuje się być nieprawdziwym dla liczb jednocyfrowych. wzór ogólny inaczej (dla n>1 (z powyższego powodu)): a_k ilość liczb k−cyfrowych podzielnych przez 9 b_k ilość liczb k−cyfrowych podzielnych przez 9 a₁=0, b₁=8 układ rekurencji

⎧	ak+1=ak+bk
⎩	ak+1=ak+bk

daje równanie a_k+2=9a_k+1 co potwierdza wzór wredulusa.