nierownosc piotrek: mam do zrobienia nierownosc, chcialbym, aby ktos sprawdzil moje postepowanie: udowodnic, ze dla dowolnych liczb dodatnich a,b i spelniajacych warunek a² + b² = 1 zachodzi nierownosc: a³ + b³ ≥ √2ab a,b >0 a² + b² = 1 a³ + b³ = (a² + b²)(a+b) −a²b −ab² a+b − (a²b +ab²) ≥ √2ab a − a²b + b − ab² ≥ √2ab a(1− ab) + b(1− ab) ≥ √2ab (a+b)(1 − ab) ≥ √2ab | ² (a+b)²*(1 − ab)² ≥ 2a²b² (a² + 2ab + b²)(1 − 2ab + a²b²) ≥ 2a²b² tutaj probowalem zastosowac podstawienie za ab=x i ab = −x (nie jestem pewien czy tak w ogole mozna) wychodzily mi dwa wielomiany trzeciego stopnia, dosc latwe, ale w zadnym z nich nie wychodzilo mi, ze sa one dla wszystkich x ≥ 0 wiem, ze mozna to zadanie zrobic, sprowadzajac nierownosc do postaci jednorodnej, bo tak jest w odp, ale chcialbym się dowiedziec, gdzie w tym moim sposobie tkwi blad

paziówna: nie możesz podnieść do kwadratu nierówności. masz dowolne dodatnie a,b i (na pewno dodatni czynnik)*(coś, co raczej jest ujemne, chyba że ab<1) ≥ stała*(dodatni czynnik) jeśli nie masz pewności, a tutaj nie masz, że masz te same znaki po obu stronach nierówności, nie możesz podnieść do kwadratu

paziówna: chodzi mi o linijkę: (a + b)(1 − ab) ≥ √2ab

Sabin: Tylko ze wydaje mi sie, ze mamy pewnosc ze tak jest, bo z warunku a² + b² = 1, a,b > 0 wynika ze zarowno a jak i b ∊ (0,1), czyli ab ∊ (0,1)...

paziówna: rzeczywiście, masz rację... tylko nie rozumiem napisu: "podstawienie za ab = x i ab = −x" o co w tym chodzi?

Sabin: Można by było tak zrobić, aczkolwiek absolutnie nie jestem przekonany co do tego, co zaraz tu napisze, wiec fajnie by bylo gdyby ktos madrzejszy to potwierdzil badz zaprzeczyl... (Bogdan? Eta? Basia? ) Piotrku, Twoj sposob posiada jeden czynnik bardzo mocno utrudniajacy to zadanie, ale o tym zaraz. Podstawmy x = ab, po wyliczeniach mi wyszlo: 2x³ − 5x² + 1 ≥ 0 A po rozłożeniu dostałem 2[x − (1−√2)][x − (1+√2)](x − ¹₂) ≥ 0, co dalo mi odpowiedz x ∊ < 1−√2 ; ¹₂ > ∪ < 1+√2 ; +∞) i teraz tak, Twoj x nie musi tutaj nalezec do R, ponieważ x = ab, a jak wiemy ab przy naszych (ogólnych) założeniach zawiera się w (0,1), czyli wystarczy zeby x ∊ (0,1) Jednak przy takiej odpowiedzi jak ta na niebiesko (0,1) nie zawiera sie w przedziale rozwiazan x. Jesli wykazalbys, ze ab zawiera sie w przedziale (0,¹₂> przy zalozeniach jak w tresci zadania, to wszystko byloby ok. No i teraz... sprawdźmy, ile wyniesie maksimum funkcji f(a,b) = ab, gdzie a² + b² = 1 ab = a(√1−a²) TU JEST WIELKIE CHYBA maksimum funkcji ab dla a,b ∊ (0,1) będzie w tym samym punkcie, co funkcji (ab)² (ab)² = a²(1−a²) Podstawiam t = a², mamy funkcję g(t) = t(1−t) ktora ma maksimum w t = 1/2 czyli dla a = 1/√2. Wtedy b = 1/√2, a stad maksimum iloczynu ab dla a,b ∊ (0,1) to 1/2 No i teraz juz nasz x nie musi być z przedziału (0,1), tylko (0,1/2>, co jest zgodne z przedzialem ktory wyszedl z wielomianu. Ale jak juz 2 razy zdazylem napisac, kompletnie nie mam pojecia czy to jest dobrze i pewnie da sie to zrobic latwiej i duzo szybciej...

Eta: Witaam Sabin siedzę i myślę, myślę... a może tak: a³ +b³ ≥ √2 ab |² (a³+b³)² ≥2a²b² / : 2a²b²

	(a3+b3)2
		≥1
	2a2b2

	(a3+b3)2 − 2a2b2
		≥0
	2a2b2

mianownik zawsze dodatni więc licznik musi być ≥0 ( a³+b³)² −2a²b²≥0 => a³+b³ ≥ √2ab c.b.d.o.

Sabin: Nie wiem, coś mi się tu nie podoba, ale nie potrafię wyjaśnić co...

piotrek: dziekuję Eto, to rozwiaznie jest nawet prostsze niz to w ksiazce proste i genialne

piotrek: nie, nie rozumiem tego jednak czemu gdy mialas Eto taka postac (a³ + b³)² ≥ 2a²b² to nie przeszlas od razu do (a³ + b³)² − 2a²b² ≥ 0, tylko podzielas i zamienilas na ulamki? chyba mozna bylo te kroki pominac? poza skad wiadomo, ze (a³ + b³)² − 2a²b² ≥ 0, skoro jest to tylko pierwotne wyrazenie podniesione do kwadratu i przeniesione na jedna stronę?

Sabin: No i właśnie to mi nie pasuje w rozwiązaniu Ety... dowodzimy korzystając z czegoś, co mamy dowieść... to trochę tak jak liczyć lim^sinx_x z de l'Hospitala...

piotrek: napisalem, ze genialne, bo przepisalem sobie nierownosc ( i jej dowiodlem), tylko ze to byla inna nierownosc niz ta u Ety. takze cos mi się pomylilo Sabin, to co napisala Eta to trochę chyba co innego niz z ta granica. Bo tę granicę mozna policzyc szybko nawet z hospitala a Eta chyba przeksztalcila wyrazenie i niczego nie dowiodla. chyba ze (a³ + b³)² − 2a²b² ≥ 0 jest oczywiste a ja tego nie widzę ale dla mnie to tylko przeksztalcenie z ktorego niewiele wynika

Sabin: "Mozna policzyc", ale podczas liczenia pochodnej sinusa korzysta sie z wiedzy o tym, ze granica ^sinx_x = 1, czyli de facto z tego, co masz udowodnic. Dlatego wydaje mi sie ze to tutaj to dosc podobna sytuacja...