czy jest to poprawnie zrobione zadanie? deco:

	1		1
wykaż że jeśli iloczyn liczb dodatnich a, b jest większy od		to a2 + b2 >		.
	4		2

	1
a*b>
	4

używając nierówności miedzy średnimi (kwadratową oraz geometryczna)

	a2+b2
√		>=√a*b
	2

a2+b2		1
	>=a*b>
2		4

a2+b2		1
	>
2		4

	1
a2+b2>
	2

cnd

ICSP: dobrze

deco: dziękuję

PW: Czasem nie widzi się tych nierówności między średnimi, i wtedy bywa skuteczny sposób sprowadzenia nierówności do nierówności jednej zmiennej. Niech b = ka, k > 0, k ≠1. Oznaczenie takie nie zmienia ogólności zadania (dla k = 1 tzn. dla b = a badana nierówność jest oczywista). Założenie ma wówczas postać

	1
(1) ka2 >		,
	4

a więc

	1
(2) a2 >
	4k

a teza

	1
(3) a2(1 + k2) >		.
	2

Dowód: Po zastosowaniu (2)

	1
a2(1 + k2) >		(1 + k2)
	4k

i prawdziwość tezy jest oczywista, bo nierówność

	1 + k2		1
		>
	4k		2

jest równoważna nierówności 1 + k² > 2k (1 − k)² > 0 prawdziwej dla k ≠ 1.

smigol: a skad wiemy ze akurat ma byc 1+k²/4>1/2 bo jak mamy np a²>1/3 i a²>3 to skad wiedziec ktore przejscie czy 1/3>3 czy 3>1/3 no tu akurat sie wydaje to oczywiste a tam nie?

PW:

	1
Skąd wiemy? − bo taka jest teza (mamy udowodnić, że a2(1 + k2) >		, zatem
	2

sprawdzamy czy to jest prawda, i okazuje się to równoważne prawdziwej nierówności kwadratowej).