Czy układ jest grupą? Analiza matematyczna, studia Lolka: W zbiorze R/{1} określamy działanie a*b=a+b−ab dla a,b należącego do R/{1}. Zbadać czy układ (R/{1}, *) jest grupą

wredulus_pospolitus: i problem napotykasz w którym momencie sprawdzania czy jest to grupa?

Lolka: Ogólnie nie wiem nawet jak zacząć. Z notatek z zajęć nie potrafię wyciągnąć czegokolwiek co pomogłoby mi rozwiązać to zadanie

ABC: a definicja grupy jest w twoich notatkach ? wiele lat temu jeden z najlepszych wykładowców jakich spotkałem w życiu powiedział "Cel będę uważał za osiągnięty , jeśli po moim wykładzie algebry dwie rzeczy zostaną w głowie na zawsze: definicja grupy i to że Galois młodo zginął z powodu kobiety "

chichi: Badamy wpierw łączność: (a*b)*c = (a*b)+c−(a*b)c = a+b−ab+c−(a+b−ab)c = a+b+c−ab−bc−ac+abc a*(b*c) = a+(b*c)−a(b*c) = a+(b+c−bc)−a(b+c−bc) = a+b+c−ab−bc−ac+abc No i tak jedziesz z kolejnymi warunki, w razie problemów przepisz tu, gdzie się zacinasz

Lolka: W notatkach mam coś takiego: Strukturę algebraiczną (𝐺,∗) z działaniem wewnętrznym ∗, nazywamy grupą, gdy spełnia aksjomaty 1. ∀𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 𝐺: (𝛼 ∗ 𝛽) ∗ 𝛾 = 𝛼(𝛽 ∗ 𝛾) łączność działania 2.∃𝜀 ∈ 𝐺∀𝛼 ∈ 𝐺: 𝜀 ∗ 𝛼 = 𝛼 ∗ 𝜀 = 𝛼 istnienie elementu neutralnego 3. ∀𝛼 ∈ 𝐺∃𝛼′ ∈ 𝐺: 𝛼 ∗ 𝛼′ = 𝛼′∗ 𝛼 = 𝜀 istnienie elementu symetrycznego Element 𝜀 ∈ 𝐺 nazywamy elementem neutralnym grupy, a element 𝛼′ ∈ 𝐺 nazywamy elementem symetrycznym do elementu 𝛼 ∈ 𝐺. Jeśli oprócz aksjomatów 1−3 spełniony jest aksjomat: 4. ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐺: 𝛼 ∗ 𝛽 = 𝛽 ∗ 𝛼 to grupę nazywamy przemienną lub abelową. Ale na prawdę zupełnie nie wiem co z tym robić. To co pisze @chichi nic mi nie tłumaczy

chichi: Nie widzisz tego, że ja wprost z tej definicji sprawdzam czy spełnione są te aksjomaty?

janek191: 2) a* e = a a*e = a + e − ae = a ⇒e − ae = 0 ⇒ e = 0 e*a = a e*a = e + a − ea = a ⇒ e + ea = 0 ⇒ e = 0 e = 0 − element neutralny *

Lolka: Dobra, chyba już rozumiem. Zajęło mi to chwilę ale mam nadzieję że zapamiętam. @chichi widzę, widzę. Nie potrafiłam zrozumieć skąd się bierze to: "(a*b)+c−(a*b)c" ale już ogarnęłam @janek191 dzięki wielkie, ten element neutralny paradoksalnie od razu załapałam. Największy problem mam chyba ze sprawdzeniem czy działanie jest wewnętrze czy zewnętrzne bo wychodzi mi cos takiego i nie wiem co dalej, chyba, że coś źle robię a+b−ab=a+b(1−a) tylko że w takim wypadku mogłoby byc także b+a(1−b) a i tak to chyba nic nie daje

ICSP: Niech a,b będą rzeczywiste i różne od 1. Wtedy: (1−a)(b−1) ≠ 0 b − 1 −ab + a ≠ 0 a + b − ab ≠ 1 czyli działanie jest wewnętrzne.

Lolka: pięknie dziękuję. Jeszcze jedna sprawa, mianowicie aksjomat czwarty wychodz mi: a'=^−a_1−a i wydaje mi się że należy do R/{1} ale wolę się upewnić

ICSP: W takim razie wskaż liczbę rzeczywistą a taką, że

−a
1 − a

jest równe 1. "Wydaje mi się" jest dość słabym uzasadnieniem.

chichi: Hmm... Jakby to powiedzieć, chyba nie rozumiesz definicji... Zatem przeczytaj najpierw definicje, a potem to: Ja ten zbiór IR\{1} nazwę zbiorem A (ma być backslash, bo Twój zapis nie ma sensu ) Zauważmy, że dla ∀b∊A(a = 1 ∧ b∊A) ∨ ∀a∊A(a∊A ∧ b = 1) mamy, że: a*b = 1, to oznacza, że wylatuję poza A wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi powyższe, czyli gdy a=1 lub b=1 (wówczas b dowolne z A i a dowolne z A respectively), no ale ja nie mogę wziąć a=1 lub b=1, bo a∊R\{1} oraz b∊R\{1}. Co oznacza, że działanie '*' jest wewnętrzne w zbiorze A

Lolka: no dobra, to wychodzi, że 0=1 czyli jednak nie należy?

ICSP:

	a
Należy, bo dla dowolnej liczby różnej od 1 element odwrotny równy		również jest różny
	a−1

od 1.