Czy to prawidłowe uzasadnienia? Rufi: CZY TO PRAWIDŁOWE UZASADNIENIA? 1.Czy √2 + √5 jest liczbą niewymierną? Odpowiedź uzasadnij. 2.Wykazać, że √2 − √7 jest liczbą niewymierną. 1. Gdyby √2 + √5 byłoby wymierne, to (√2 + √5)² też byłoby wymierne. (√2 + √5)² = 7 + 2√10 − liczba niewymierna A więc jest niewymierne. 2. Gdyby √2 − √7 byłoby wymierne, to (√2 − √7)² też byłoby wymierne. (√2 − √7)² = 9 − 2√14 − liczba niewymierna A więc jest niewymierne.

wredulus_pospolitus: 1) a skąd wiemy, że √10 to liczba wymierna analogicznie (2)

chichi: Toż to ciekawe wredulusie, ze √10 to liczba wymierna

Rufi: Myślicie że wykładowca może urwać punkty jeśli nie rozpiszę że √10 i √14 są wymierne? Myślałem że to takie oczywiste kwestie nie wymagające uzasadnienia

wredulus_pospolitus: @chichi ... ja puki co nie widzę uzasadnienia, że nią nie jest ... więc nie wiem czy jest czy też nie ... jest to wielka niewiadoma

Rufi: Niewymierne*

wredulus_pospolitus: moim zdaniem tak −−− co z tego że rozpisałeś że kwadrat tej sumy/różnicy pierwiastków to liczba wymiera + 'coś' ? Skoro nie wiemy czym jest to 'coś'

Rufi: A czy mogę prosić o jakiś w miarę przystępny sposób na wykazywanie że jakiś pierwiastek nie jest wymierny? Bo szczerze mówiąc, nie wiem w takim razie co dalej z tym zrobić

chichi: Jest dużo sposobów np. z tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych rozpatrując W(x) = x²−10. Inny sposób zakładając, że √10 jest wymierny czyli

	p
zapisywalny w postaci		, przy czym NWD(p, q) = 1 i doprowadzić do sprzeczności
	q

Mila: 1) Czy √2 + √5 jest liczbą niewymierną? √2, √5− liczby niewymierne zakładamy, że suma tych liczb jest liczbą wymierną równą a. √2+√5=a , √2=a−√5 /² 2=a²−2a√5+5 2a√5=a²+3

	a2+3
√5=
	2a

Lewa strona jest liczbą niewymierną a prawa strona jest liczbą wymierną , sprzeczność. 2) Wielomian: W(x)= x²−2 ma całkowite współczynniki. Jeżeli wielomian o całkowitych współczynnikach ma wymierne pierwiastki to są one podzielnikami wyrazu wolnego Żadna z liczb {1, −1, 2,−2} nie jest pierwiastkiem tego wielomianu. W(1)=−1≠0 w(−1)=−1≠0 W(−2)=2≠0 W(2)=2≠0 Wielomian ma dwa pierwiastki: x²−2=0 x=√2 lub x=−√2 Zatem √2 jest liczbą niewymierną. Analogicznie można wykazać, że √5 jest liczbą niewymierną.

chichi: @Mila mylisz twierdzenie o całkowitym pierwiastku wielomianu o współczynnikach całkowitych

	p
z tym o wymiernym. Jeżeli W ma mieć pierwiastek wymierny to musi być postaci		, gdzie p
	q

− dzielniki wyrazu wolnego, a q − dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej, przy czym należy też rozważyć te ze znakiem (−)

PW: Można "hurtem" udowodnić punkty 1. i 2. Niech a = √2 + √5, b = √2 − √5. Iloczyn ab = (√2)² − (√5)³ = − 3 jest liczbą wymierną. Jest oczywiste w takim razie, że − albo obie liczby a i b są wymierne − albo obie liczby a i b są niewymierne. Pierwsza możliwość nie ma miejsca, gdyż suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna, a u nas a + b = 2√2 jest niewymierna (nie ma potrzeby przeprowadzć dowodu, jest to fakt powszechnie znany, od dowodu niewymierności √2 rozpoczyna się nauka o liczbach niewymiernych). Wobec tego obie badane liczby są niewymierne

PW: Dzisiaj patrzę i oczom nie wierzę. Przecież w punkcie 2. było 2 − √7, a nie 2 − √5. Ale "sztuczkę" pokazałem, na dobrą sprawę może być zastosowana do obu punktów osobno, po udowodnieniu niewymierności 2 − √5 można napisać "Punkt 2. − dowód analogiczny".

Mila: Dowód bardzo ładny i zastosować łatwo