okresowość funkcji
Sampas: Wykaż, że jeśli funkcja jest niemalejąca i niestała, to nie jest okresowa.
Moje rozwiązanie:
f:X→Y
Jeśli funkcja jest niemalejąca i niestała to dla dowolnych x
1,x
2∊X takich ,że x
1<x
2 mamy:
f(x
1)<f(x
2).
1) weźmy T>0 wówczas możemy przyjąć, że x
2=x
1+T∊X ⇒ f(x
1)<f(x
1+T).
2) weźmy T<0 wówczas mamy x
1=x
2+T∊X ⇒ f(x
2+T)<f(x
2).
Oznacza to, że nie istnieje takie T≠0 dla którego f(x)=f(x+T). Oznacza to, że funkcja nie jest
okresowa.
Czy moje rozumowanie jest poprawne? Z góry dziękuję
12 lis 13:20
wredulus_pospolitus:
Jeśli funkcja jest niemalejąca i niestała to dla dowolnych x
1,x
2∊X takich ,że x
1<x
2 mamy:
f(x
1)<f(x
2).
<−−− nieprawda 
| | ⎧ | 0 ; gdy x<0 | |
| np. funkcja f(x) = | ⎩ | x dla x≥0 | jest funkcją niemalejącą i niestałą.
|
Druga sprawa −−− po co bierzesz T<0
12 lis 15:35
wredulus_pospolitus:
proponuję więc wyjść z założenia, że dzięki wiedzy o tym, że funkcja jest niemalejąca i
niestała mamy:
∃x1,x2 ∊ X x1 < x2 ∧ f(x1) < f(x2)
Następnie wystarczy napisać:
∀x3 ∊ X , x3>x2 f(x3) ≥ f(x2) > f(x1) (co wynika z niemalejącej funkcji)
związku z tym:
∀t x1+t ∊ X ∧ x1+t > x2 ⇒ f(x1) < f(x1+t) (co oznacza, że jeżeli nawet funkcja może
być tylko 'kawałkami okresowa' )
12 lis 15:47
Sampas: dlaczego jeśli x1<x2 to dla każdego t x1+T>x2 ?
12 lis 16:02
wredulus_pospolitus:
Jest różnica pomiędzy T i t
Zwróć uwagę na to które 'te' używam.
12 lis 16:05
Sampas: no dobrze, ale nadal nie rozumiem
12 lis 16:10