analiza rumi12: Mamy ciąg liczb rzeczywistych a_n , n ∊ ℕ ∪ 0. Wiemy, że lim_{n →∞} ( a_n+1 − a_n) = 0 lim_{n →∞} ( a_2n − 2a_n) = 0, Czy są to warunki wystarczające na to, żeby lim_{n →∞} (a_n) = 0? Potrafię wskazać z defnicji, że jesli lim_{n →∞} (a_2n) = 0, ∧ lim_{n →∞} (a_2n−1) = 0, to lim_{n →∞} (a_n) = 0, ale nie wiem czy cale zadanie można zrobić w tak elementarny sposób. Nie wiem w ogóle czy moja intuicja jest słuszna (wydaje mi się, że są to warunki wystarczające)

wredulus_pospolitus: pierwsza granica wskazuje nam że 'różnica' pomiędzy dwoma sąsiadującymi elementami zbiega do 0 (czyli to nie jest wystarczające aby sam ciąg dążył do 0 ... jednak z tego wiemy, że ciąg dąży do jakiejś granicy) a teraz zastanów się ... i napisz, co nam mówi druga granica podana w zadaniu

chichi: Co rozumiemy przez słowo 'elementy' a przypadku tego zadania?

wredulus_pospolitus: elementami ciągu {a_n}

chichi: Wybacz, przywykłem do słowa 'wyrazy' hah

rumi12:

	a2n
Druga granica podana w zadaniu wskazuje, że ciąg jest rosnący? Skoro		→ 1
	2an

to znaczy, że od pewnego miejsca wyrazy ciągu są dwa razy większe, niż te o n bliżej?

wredulus_pospolitus: niekoniecznie rosnący, jeżeli a_n < 0 to będziesz miał ciąg malejący jednak jeżeli połączyć ze sobą te dwie informacje to możesz wykazać, że lim a_n = 0 (można więcej udowodnić, ale to wystarczy)

rumi12: Moment, więc ciąg a_n jest rosnący, ma dodatnie wyrazy i do tego ma zbiegać do granicy równej 0? Chciałbym bardzo, ale nie rozumiem.

wredulus_pospolitus: z pierwszej granicy wiemy, że lim a_n = g (ciąg jest zbieżny) dowód niewprost. załóżmy, że lim a_n = g ; g ≠ 0 w takim razie także oczywiście lim a_2n = g lim a_2n − 2a_n = g − 2g = −g = 0 −−−> g = 0 sprzeczność c.n.w. I to wystarczy.

rumi12: Teraz rozumiem. Dziękuję bardzo!

rumi12: Hej, sory że odkopuje ale mysle ze pierwszy warunek nie jest wystarczający żeby ciąg miał granicę.

	1		1		1
Rozważmy ciąg an =		+		+...+		(Seria harmoniczna)
	1		2		n

Lim(a_n+1 − a_n) =0 ale a_n (ciąg sum częściowych) nie jest zbieżny.

PW: Zapytam złośliwie: Seria harmoniczna − tłumaczyć z angielska języka?

rumi12: nie rozumiem :?

wredulus_pospolitus: chodzi oto, że nie 'seria harmoniczna' tylko 'szereg harmoniczny'