Trójkąty - zadanie optymalizacyjne Andzia: Zbadaj, który z trójkątów o danym boku a i obwodzie 2p ma największe pole? Wyznacz pole tego trójkąta.

wredulus_pospolitus: a jest jakaś relacja pomiędzy 'a' i '2p'

wredulus_pospolitus:

	a
odpowiedź: będzie to trójkąt równoramienny o podstawie 'a' i boku 'p −		'
	2

wredulus_pospolitus: lub trójkąt równoramienny o podstawie '2p − 2a' i ramieniu 'a' ... musisz sprawdzić który (kiedy) będzie miał większe pole

Andzia: Czy trzeba w jakiś sposób udowodnić że są 2 opcje do wyboru i te trójkąty mogą być tylko równoramienne? Jeśli tak mógłbyś naprowadzić w jaki sposób?

Andzia: Oraz czy według tego co napisałeś, że będą to takie trójkąty o takich bokach, to w jaki sposób mam pójść dalej? Bo policzyłam z twierdzenia Pitagorasa h dla pierwszego trójkąta i wynosi ona √p(p−a), a dla drugiego √p(2a−p). Mogłabym z tego policzyć pole, ale czy to na pewno w tą stronę? Przerażają mnie trochę te pierwiastki..

Szkolniak: Można coś próbować ze wzoru Herona, ale trochę liczenia jest także pewnie jest szybszy sposób P − pole trójkąta a,b,c − długości boków trójkąta p − obwód trójkąta (a+b+c=2p → c=2p−a−b) (1) ze wzoru Herona: P=√p(p−a)(p−b)(p−c) (2) tworzymy funkcję P(b): P(b)=√p(p−a)(p−b)(a+b−p) P(b)=√(ap−p²)b²+(a²p+2p³−3ap²)b+2ap³−a²p²−p⁴ (3) P'(b)=0 ⇔

	2(ap−p2)b+a2p+2p3−3ap2
⇔		=0 ⇔
	2√(ap−p2)b2+(a2p+2p3−3ap2)b+2ap3−a2p2−p4

⇔ 2(p−a)b=−3ap+2p²+a² ⇔

	a
⇔ b=p−
	2

Pomyślę nad innym i jak coś to napiszę

wredulus_pospolitus: 1) wykazanie, że to musi być trójkąt równoramienny: możemy posłużyć się swoją wiedzą na temat planimetrii. Wiemy bokiem, czym jest ELIPSA. Elipsa to zbiór punktów których suma odległości do dwóch stałych punktów (wierzchołki podstawy) jest stała

wredulus_pospolitus: 2) skoro wiemy, że jest to trójkąt równoramienny, to mamy dwie opcje: a) 'a' jest podstawą b) 'a' jest ramieniem