Ciągi problem pr713: Mam takie pytanie odnośnie zadania.

	(n+1)(n+2)
W poleceniu mamy podany wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu, Sn =
	2

I chcąc wyznaczyć ogólny wyraz ciągu czyli korzystając z a_n = S_n − S_n−1 wychodzi a_n = n+1 zgodnie z odpowiedzią w zbiorze dla n > 1 ( tutaj > 1 bo nie może być S₁₋₁ = S₀ tak? ) I teraz dlaczego jak chcę obliczyć a₁ to podstawiając do wzoru z polecenia S₁ = a₁ =... Wychodzi a₁ = 3 ( zgodnie z odpowiedzią w zbiorze ), a tutaj dla wzoru a_n wychodzi 2? I trzeba jakby podstawić za n w indeksie "a" liczbę 1 a po prawej > 1 czyli 2? I wtedy wyjdzie a₁ = 2+1 = 3? Lecz dla np a₅ już wszystko się zgadza. Analogicznie jak się wyznaczy ten wzór na n−ty wyraz to próbując wyznaczyć z powrotem

	(a1 + an )*n		(3 + n+1)*n		n²+4n
wzór na Sn otrzymujemy zły wzór, Sn =		=		=
	2		2		2

czyli inny niż ten w poleceniu do zadania

ICSP: bo wzór a_n = S_n − S_n−1 jest prawdziwy tylko jeśli S₀ = 0 W przeciwnym wypadku należy stosować wzór:

	⎧	Sn − Sn−1 dla n > 1
an =	⎨
	⎩	S1 dla n = 1

Mila: Podaj dokładnie treść zadania.

chichi: a_n = n + 2, dlaczego stosujesz wzór do sumy ciągu arytmetycznego, podane jest jaki to ciąg?

chichi: Przyćmiło mnie, ze wzoru na n−ty wyraz ciągu rozpoznajemy, że jest on arytmetyczny

pr713: iCSP to wiem, Miła "Suma n początkowych wyrazów nieskończonego ciągu (a_n) wyraża się wzorem S_n = ( już nie będę przepisywał) Oblicz a) a₁ b) a₅ Następnie podaj wzór na a_n Chichi właśnie to zadanie jest w temacie "Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego" więc może być ale nie musi?, Więc to mnie chyba trochę zmyliło Aczkolwiek ta zależność S_n − S_n−1 jest dla dowolnego ciągu, prawda? I wtedy wychodzi a_n = n+1 i tak mi wyszło z tej zależności i tak jest w odpowiedziach w zbiorze lecz dla n > 1 Więc chcąc obliczyć a₁ oprócz podstawiania n = 1 do wzoru na sumę S_n nie da się tego inaczej zrobić? Tzn chcąc obliczyć a₁ można tylko tak zrobić ale dla np a₂, a₅ itd można już podstawić do wzoru a_n = n+1? ( Bo wtedy dany wyraz ma jakby numer większy od 1, tzn 2,3,4,5... → a_n dla n > 1 ) Bo dla innego podpunktu zadania, żeby obliczyć a₅ odpowiedź to a₅ = 6 i wychodzi tak zarówno podstawiając do wzoru na S_n oraz do a_n

chichi: Napisalem Ci, że z S_n+1−S_n wychodzi, że a_n = n+2, a nie a_n = n+1

pr713: ICSP odnośnie twojej wiadomości to nie rozumiem po co ten wstęp że wzór jest prawdziwy tylko gdy S₀ = 0 i że "w przeciwnym wypadku"... Przecież S₀ musi być = 0 więc po co napisałeś że w przeciwnym wypadku... przecież to jest tak jak napisałeś tylko dla a₁ tzn a₁ = S₁ − S₁₋₁ = S₁ − S₀ = S₁

pr713: @chichi Ale dla S_n − S_n−1 wychodzi n+1, sprawdź

chichi: A bo Ty masz S_n−S_n−1

ICSP: Sprawdziłeś w ogóle ile u Ciebie wynosi S₀ ?

pr713: No bo tak jest zawsze dla sumy, bez sensu jest pisanie Sumy n+1 wyrazów... Skoro jest ich n

pr713: No S₀ = 3/2

pr713: Czyli jednak nie 0

pr713: No to w takim razie nie rozumiem tego, bo a₁ = S₁ − S₀ = S₁ gdy S₀ = 0

chichi: No to spójrz do polecenia i się określ w końcu, bo jeśli jest nieskończony, to wyrazów nie jest 'n'

pr713: Ale tutaj S₀ ≠ 0 więc co to oznacza bo już nie rozumiem

pr713: No dobra, tak, ale też nie ma ich n+1

pr713: Więc już nie rozumiem o co Ci chodzi, bo S_n − S_n−1 = n+1 a Tobie n+2, tylko że u Ciebie n+2 = a_n+1 więc a_n = (n−1)+2 = n+1 ...

chichi: Ja nie mówię, że jest ich jest n+1, ale mogę badać taką sumę

pr713: Więc mamy to samo i teraz pomóżcie z moim pytaniem o 20:30 bo już nie rozumiem

pr713: To dlaczego skoro a_n = n+1 to nie możemy obliczyć stąd a₁ bo wyjdzie źle i pomóż z tym co ICSP pisał i się nie śmiej xD

pr713: Bo z jego wiadomości o 20:15 no to ten wzór w klamrze dla n = 1 i n > 1 jest właśnie dla S₀ = 0

pr713: Więc w jaki inny sposób mam wyznaczyć a_n

chichi: Może błędu należy szukać gdzie indziej, wypisz S₁, S₂, S₃, S₄ korzystając ze wzoru podanego w poleceniu i zobacz czy przypadkiem nie psuje się tam 'arytmetyczność' tego ciągu

Mila: No źle napisałam a_n=3 dla n=1 a_n=n+1 dla n≥2 Masz taki ciąg: 3,3,4,5,6, a₂−a₁=0 a₃−a₂=1

pr713: Mila ja nie mam badać czy ciąg jest arytmetyczny, tylko po prostu wyznaczyć a₁ i a_n

pr713: To zadanie jest w temacie związanym z ciągiem arytmetycznym ale ten ciąg nie jest arytmetyczny

pr713: Więc możemy zastosować wzór na a_n = S_n − S_n−1 I tak jak ICSP napisał ten wzór można rozpisać na n > 1 i n = 1 Lecz nie rozumiem o co mu chodziło z tym że wzór a_n = S_n − S_n−1 jest prawdziwy jeśli S₀ = 0 w przeciwnym przypadku trzeba to rozpisać skoro zawsze się tak rozpisuje, prawda? I co miał na myśli żeby obliczyć S₀ skoro z polecenia wzór S_n jest prawdziwy dla n∊N₊ więc n ≥ 1 Zatem S₀ nie istnieje i podstawianie n = 0 nic nam nie mówi

Mila: To ma być tak jak 20:56. Pokazałam, że nie jest to c.a, tego nie musisz pisać, to dla Twojej wiadomości, gdyby było pytanie , czy ten c. jest arytmetyczny.

pr713: I chodzi mi o to, dlaczego skoro ten wzór na a_n jest prawdziwy dla dowolnego ciągu to tutaj wychodzi a_n = n+1 i tak jest w odpowiedziach w zbiorze i dlaczego akurat dla n > 1? Dlatego że w tym wzorze po rozpisaniu a_n = S_n − S_n−1 dla n > 1 tak? I z tego powodu nie możemy obliczyć a₁ podstawiając tutaj za n = 1, tzn do wzoru a_n = n+1 tylko możemy wyznaczyć wyraz pierwszy podstawiając n = 1 do wzoru na sumę z treści zadania, tak?

pr713: Teraz mi się odświeżyło i nie widziałem twojej wiadomości, więc dobrze napisałem? Bo o tym samym napisaliśmy

pr713: Że wzór jest prawdziwy tylko dla n > 1 albo jak kto woli ≥ 2 więc tym wzorem możemy obliczyć wyrazy od drugiego natomiast pierwszy tylko ze wzoru na sumę z treści zadania?

pr713: I dokładnie o tym pisałem o 20:30 w połowie postu tylko że chichi naspamił i nie przeczyta ze zrozumieniem żeby zrozumieć co mam na myśli

pr713: Ps: bo właśnie to że a₁ = 3 obliczylaś ze wzoru z polecenia zadania a resztę można już z a_n pisząc w poście o 20:56

Mila: S₁=a₁=3 z S_n a₂=3 wg wyznaczonego wzoru S₂=a₁+a₂=3+3=6

	2+1)*(2+2
S2=		=6 zgodność ze wzorem na Sn
	2

pr713: O zgodność ze wzorem na a_n chyba Ci chodziło

Mila: Tak, odnośnie 21:09

pr713: Nie czekaj, po prostu podstawiłaś n = 2 więc nie rozumiem o jaką zgodność Ci chodzi

pr713: Dobra, mi się odświeża z opóźnieniem

pr713: Czyli odnośnie moich postów od 21:04 mamy to samo na myśli?

pr713: Chce się tylko upewnić...

Mila: Tak.

Mila: Pisz następne zadania, w przypadku wątpliwości.

pr713: I jeszcze napisalabyś parę słów odnośnie postu ICSP z 20:15 i mojego z 21:00? Bo nie rozumiem co on miał na myśli że jest to prawdziwe dla S₀ = 0 a w przeciwnym przypadku trzeba rozpisać skoro zawsze się tak rozpisuje I dlaczego chciał obliczyć S₀ skoro jest to trochę nielogiczne że względu na n ≥ 1

pr713: @Mila dziękuję bardzo za pomoc

pr713: Jedyna co jest życzliwa a nie jak Chichi... Może to jego charakter a nie chęć dogryzania zamiast pomocy drugiej osobie...

Mila: Myślał, że jesteś na studiach, tam oblicza się S₀, a₀ w niektórych zadaniach.

Mila: chichi ma dużo wiadomości i pomaga skrótami myślowymi. Przyzwyczaisz się do jego stylu za jakiś czas. Ja go rozumiem

ICSP: " ICSP odnośnie twojej wiadomości to nie rozumiem po co ten wstęp że wzór jest prawdziwy tylko gdy S0 = 0 i że "w przeciwnym wypadku"... Przecież S0 musi być = 0 więc po co napisałeś że w przeciwnym wypadku... przecież to jest tak jak napisałeś tylko dla a1 tzn a1 = S₁ − S₁₋₁ = S₁ − S₀ = S1 " Po to miałeś liczyć S₀ aby zobaczyć, że w twoim przypadku jest właśnie różne od 0. Dlatego musisz użyć wzoru z klamrą. Jednak sam problem już udało Ci się zauważyć: a₁ = S₁ − S₀ nie jest poprawnie zdefiniowane poprzez brak zdefiniowania S₀ (S_n definiujemy dla n ≥ 1). Czyli tak właściwie to zawsze powinno się liczyć osobno a₁ a następnie korzystać z wzoru a_n = S_n − S_n−1 jednak z pewnych powodów (prawdopodobnie lenistwo) korzystamy z wzoru: a_n = S_n − S_n−1 i ten mały problem z błędnym zdefiniowaniem a₁ pomijamy dając zazwyczaj przykłady gdy S₀ = 0.

pr713: Mila rozumiem ICSP dzięki za potwierdzenie mojego toku rozumowania czyli S₀ = 0 jest wtedy gdy ciąg jest arytmetyczny ( i tak jak napisałeś zazwyczaj daje się przykłady gdzie S₀ = 0 np przy zadaniach z dowodem żeby wykazać że ciąg jest arytmetyczny ), bo wtedy już jak wyznaczymy z tej zależności a_n to "n" nie jest > 1 tylko ≥ 1, bo potem obliczając a₁ poprzez podstawienie do wzoru na sumę n = 1 oraz do wzoru na a_n który wyznaczyliśmy z tej zależności S_n − S_n−1 wyjdzie nam to samo, a nie tak jak w przypadku tego zadania o którym tyle pisaliśmy , tak?

pr713: Bo w takich zadaniach gdzie jest dobrane S₀ = 0, gdy już wyznaczymy a_n to korzystamy z twierdzenia a_n+1 − a_n i określamy znak dla n ≥ 1 ( dla ciągu arytmetycznego musi być constans ) a dla takiego jak w tym zadaniu musielibyśmy przyjąć dla tego zapisu a_n+1 − a_n że n > 1 lub inaczej jako ≥ 2 i sprawdzić osobno co jest dla n = 1