Czy mógłby ktoś wytłumaczyć krok po kroku Cyz: 1+log_1/2 sinx+ log²_1/2sinx +log³_1/2sinx+….≤2

Kacper: Pytanie 1. Kiedy taka suma będzie istnieć?

Cyz: Kiedy Q<1

Cyz: I sinx>0

Cyz: *|q|<1

Cyz: I nie wiem jak obliczyć Log_1/2sinx<1 Log_1/2sinx>−1

Cyz: Wychodzi mi, ze x€(−7/6 π +2kπ , π/6 +2kπ) , K€c

Cyz: I później robię 1/ 1 −q ≤2

Szkolniak: Lewa strona nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego (a_n). Suma ta istnieje wtedy, gdy |q|<1, gdzie q=log_1/2(sin(x)), (a₁=1). Zatem lewa strona jest postaci:

	a1		1
1+log1/2(sin(x))+log1/22(sin(x))+...=		=
	1−q		1−log1/2(sin(x))

Do tego dochodzi warunek wynikający z logarytmu, tzn. sin(x)>0 Stąd nasze warunki wyznaczające dziedzinę nierówności to: sin(x)>0 ∧ |log_1/2(sin(x))|<1 Zajmę się tylko druga z nierówności |log_1/2(sin(x))|<1 log_1/2(sin(x))>−1 ∧ log_1/2(sin(x))<1 −log₂sin(x)>−1 ∧ −log₂sin(x)<1 log₂sin(x)<1 ∧ log₂sin(x)>−1

	1
log2sin(x)<log22 ∧ log2sin(x)>log2(		)
	2

	1
sin(x)<2 ∧ sin(x)>
	2

	1
x∊ℛ ∧ sin(x)>
	2

	1
Wychodzi ze dziedzina to zbiór rozwiązań nierówności sin(x)>		, spróbujesz dalej sam?
	2

Cyz: Czyli dziedzina to x€(π/6 +2kπ, 5/6π+2kπ)?

Cyz: I wychodzi mi ze sinx ≥√2/2 I sinx≤1/2

Cyz: Wiec jak miałam dziedzinę ≥1/2 to biore pod uwagę tylko ten pierwszy sinx?

Szkolniak:

	1		√2
Tak, odpowiedzią będzie część wspólna obu nierówności: sin(x)>		∧ sin(x)≥
	2		2