Monotoniczność ciągu pr123: Prosiłbym o jakiś komentarz odnośnie tego: Tak się zastanawiam, bo dla dowolnego ciągu o wyrazach dodatnich jest twierdzenie, że

an+1
	gdy jest np > 1 to ciąg jest rosnący, albo < 1 to ciąg malejący itd. I takie
an

twierdzenie pojawia się dla dowolnych ciągów, tzn arytmetycznych i geometrycznych oraz innych w podręczniku Pazdro. (1) Tak samo z a_n+1 − a_n, gdy jest = 0, > 0 itd. (2) No i po wzięciu w szkole kolejno ciągu arytmetycznego czyli zależność a_n+1 − a_n oraz geometrycznego ( zależność (1), czyli iloraz wyrazu następnego i poprzedniego) to dla ciągu geometrycznego działa to też przecież dla wyrazów ujemnych itd. więc zaczęło mnie to zastanawiać dlaczego w podręczniku w pierwszych tematach podali to twierdzenie ( jeszcze przed poznaniem ciągów geometrycznych ) że działa to tylko dla ciągów o wyrazach dodatnich ( skoro to jest tak naprawdę to samo twierdzenie), bo analogicznie

	an+1
możemy to twierdzenie napisać dla wyrazów ujemnych, np		gdy jest > 1, to ciąg
	an

jest malejący etc. ( Tylko znak < zamieniamy na > ) tak samo z tym (2) a_n+1 − a_n, najpierw braliśmy czy jest = 0, > 0 itd a potem to jest tak naprawdę zależność z ciągów arytmetycznych bo r = a_n+1 − a_n ) i na podstawie różnicy r określa się monotoniczność ciągu (arytmetycznego gdy różnica nie ma "n" ), więc nie rozumiem dlaczego nie podali tego twierdzenia też dla wyrazów ujemnych? Bo tym właśnie twierdzeniem (1) dla dowolnych ciągów, gdy nie wiemy czy jest arytmetyczny, geometryczny czy ani taki ani taki to najlepiej się bada monotoniczność dla wyrazu ogólnego a_n z liczbami do potęgi np "n−1", bo

	an+1
korzystając z		bo wtedy dla np an = 2(n−1) ładnie się odejmuje potęgi. → wg
	an

twierdzenia w książce dla tylko dodatnich wyrazów ale co jeśli wzór ogólny byłby równy a_n = −2⁽n−1)? Wtedy niby nie możemy skorzystać z z tego twierdzenia (1) a korzystanie w takim przypadku z twierdzenia (2), to wtedy możemy wyciągnąć np 2ⁿ przed nawias i w nawiasie by zostało 2ⁿ (2¹−1) = 2ⁿ i dużo nam to nie pomaga, nie pozbędziemy się n, tak jak w (1) wzorze, otrzymalibyśmy po prostu "2" a wg mnie można to analogicznie właśnie robić tylko dla ciągów z wyrazami ujemnymi.

pr123: Poprawka wzoru ogólnego zamiast 2⁽n−1) ma być 2ⁿ a wtedy a_n+1 = 2ⁿ⁺¹ Z drugiej strony to jest chyba obojętne z którego twierdzenia skorzystamy, żeby udowodnić że ciąg o wzorze ogólnym a_n = 2ⁿ jest np rosnący, bo z (1) nam wyjdzie "2", a z drugiego twierdzenia (2) wyjdzie 2ⁿ i wtedy możemy kolejne liczby naturalne podstawić do tego ( otrzymaliśmy to z różnicy następnego i poprzedniego wyrazu ) i pokazać że jest to > 0 i na podstawie twierdzenia (2) jest rosnący

wredulus_pospolitus:

	an+1
1) Ponieważ: ( Tylko znak < zamieniamy na > ) <−−− czyli twierdzenie		> 1
	an

NIE JEST prawdziwe dla a_n+1 < 0 i a_n < 0 2) Jeżeli masz ciąg a_n = −2ⁿ⁻¹ to a_n+1 − a_n = −2ⁿ − (−2ⁿ⁻¹) = 2ⁿ⁻¹*(−2 + 1) = −2ⁿ⁻¹ i jak to 'nie pomaga' ? Co mnie obchodzi, że jest nadal 'n' ? Wiemy, że 2ⁿ⁻¹ > 0 dla dowolnego 'n' ... związku z tym tamta różnica jest <0 ... wniosek i po sprawie

pr713: No tak, czyli możemy też jakby to twierdzenie przekształcić dla a_n oraz a_n+1 < 0 tak jak pisałem i zmienić znaki < na > i odwrotnie, chodzi mi o przekształcenie twierdzenia

pr713:

	an+1
Tak jak napisałeś		> 1 nie jest prawdziwe dla wyrazów ujemnych ale gdy zamienimy
	an

to na

an+1
	< 1 to już jest
an