Nierówność Wiolla: Dzień dobry czy jak mam takie ograniczenia 0<x<π i 0<y<π to 0<x+y<2π i −π<x−y<π czy dobrze to zrobiłam?

kerajs: Czy dobrze co zrobiłaś? Drugi obszar jest dwa razy większy od pierwszego więc ...

Wiolla: Chodzi mi czy dobrze oszacowalam x+y i x−y?

Wiolla: Czy mógłby ktoś odpisać. Bardzo proszę 🙏🙏

kerajs: Trudno jednoznacznie odpowiedzieć skoro nadal nie wiadomo po co to robisz. Napisz pełną treść zadania, a pewnie błyskawicznie dostaniesz odpowiedź.

Wiolla: Musialam rozwiazac uklad rownan przy okazji znajdowania ekstremow funkcji dwoch zmiennych przy ograniczeniu 0<x<π oraz 0<y<π uklad wygladal tak 1) −cos(2x+2y)+cos2x=0 2) −cos(2x+2y)+cos2y=0 − cos2x−cos2y=0 −2sin(x+y)sin(x−y)=0 sin(x+y)=0 lub sin(x−y)=0 x+y=kπ kub x−y=kπ i teraz mam ze 0<x+y<2π i −π<x−y<π no wiec z tych ograniczen mam ze 1)x+y=π albo 2)x−y=0 (w tyn miejscu uzywam tych szacowan!) i dalej juz wychodzi odpowiedz jak trzeba chodzilo mi tylko o to czy dobrze to szacuje do tego rozwiazania dla 1) wyjdzie brak rozwiazan w przedziele na x jak podstawie spowrotem do ukladu rownan a dla 2) wyjdzie ze x=y i albo π/3 albo 2π/3 i zgadza sie z odpowiedzia ze tam bede ekstrema, jakie to sobie juz sprawdze chodzilo mi tylko o rozwiazanie ukladu czy moje domniemania sa w porzadku

chichi: Zanim w ogóle napiszę cokolwiek o tym, prosiłbym jasno zaznaczyć co jest argumentem funkcji, dla mnie zapis cos2x jest zapisem niejednoznacznym i jak bardzo trzeba być leniwym żeby stosować takie zapisy, mierzi mnie ten fakt i zwracam go również na uczelni, nie ma kontrargumentów, bo cos2x może w przybliżeniu być około−0.416147x

kerajs: 1. Moim zdaniem niczego tu nie szacujesz. 2.''cos2x−cos2y=0 −2sin(x+y)sin(x−y)=0 sin(x+y)=0 lub sin(x−y)=0 x+y=kπ kub x−y=kπ i teraz mam ze 0<x+y<2π i −π<x−y<π'' Ostatnie przejście jest bezsensowne, więc odpowiedzią na pytanie z pierwszego postu jest: niedobrze zrobiłaś. 3. Skoro dostałaś x+y=kπ to wracasz z tym do jednego z pierwotnych równań i szukasz rozwiązań. Analogicznie zrób z x−y=kπ 4. Układ można rozwiązać także tak: sin(2x+y) sin y=0 ∧ sin(x+2y) sin x=0 (2x+y=kπ ∧ x+2y=nπ) ∨ (2x+y=kπ ∧ x=nπ) ∨ (y=kπ ∧ x+2y=nπ) ∨ (y=kπ ∧ x=nπ) ograniczenie do 0<x<π i 0<y<π wskazuje na rozwiązanie tylko w pierwszym układzie równań ***************************************************************************** PATOLOGIĄ jest ukrywanie przed zbanowanym użytkownikiem informacji: kto, ZA CO i na jak długo go ukarał. PATOLOGIĄ jest usuwanie postów zgodnych z netykietą.

Wiolla: To jak to dalej zrobić moim sposobem?

Wiolla: Jak wroce żeby to podstawic Dla 1) x+y=kπ −cos(2π)+cos(2kπ−2y)=0 cos(2kπ−2y)=1 2kπ−2y=2kπ y=0 to x=kπ (I tu nie znajdę rozwiązań które wpadaja do przedziałów na x i y) Dla 2) x−y=kπ −cos(2kπ+4y)+cos(2kπ+2y)=0 cos(2kπ+2y)−cos(2kπ+4y)=0 −2sin(−y)sin(2kπ+3y)=0 Dla sin(−y)=0 mam y=kπ (tu nie znajdę rozwiązań) Dla sin(2kπ+3y)=0 2kπ+3y=kπ 3y=−kπ y=−kπ/3 I szukam y z mojego przedziału i mam Dla k=−1 to y=π/3 i dla k=−2 to y=2π/3 Jak teraz znaleźć x mogę podstawic do tego że x−y=kπ ale mogę dla y wybierać inne k a x też inne k aby znajdowało się w przedziale?

Wiolla: Prosiłabym o odpowiedź bo mnie to bardzo męczy 😔

Wiolla: Czy ktoś z państwa wie jak mam to zrobić?

Szkolniak:

⎧	cos(2x)=cos(2x+2y)
⎩	cos(2y)=cos(2x+2y)	, x,y∊(0;π)

⎧	cos(2x)−cos(2x+2y)=0
⎩	cos(2y)−cos(2x+2y)=0

⎧	sin(2x+y)sin(y)=0
⎩	sin(2y+x)sin(x)=0

Teraz zauważamy, że sin(x)>0 dla x∊(0;π) oraz sin(y)>0 dla y∊(0;π)

⎧	sin(2x+y)=0
⎩	sin(2y+x)=0

⎧	2x+y=kπ
⎩	2y+x=kπ, k∊ℤ

⎧	2y=2kπ−4x
⎩	2y=kπ−x

	π
2kπ−4x=kπ−x → x=		k
	3

	π		k
0<x<π ⇔ 0<		k<π ⇔ 0<		<1 ⇔ 0<k<3 → k∊{1,2}
	3		3

	π
1o k=1: x=y=
	3

	2
2o k=2: x=y=		π
	3

Wiolla: A jak pan zrobił to przejście z drugiego układu równań na trzeci jaki wzór? ale ja nadal chciałbym się dowiedzieć jak zrobić to poprawnie do końca moim sposobem nie potrzebuje żeby ktoś za mnie rozwiązywał tylko wytłumaczył mi. Tak czy inaczej dziękuję za rozwiązanie. Mi się wydaje że to może być kolizja oznaczeń i u pana też bo do dwóch różnych równań używamy tego samego k

chichi: Oczywiście, że tam powinny być inne parametry. Tu 'k' tam 'k', później sobie przyrównam i coś wyjdzie, za łatwo by było. Punkty wyszły mu dobre, ale to nie jest poprawnie rozwiązany układ równań, poprawić tę końcówkę i będzie okej. Później to zrobię

chichi: Spójrz na propozycje @kerajs 6 lis 09:43 u niego wyraźnie widać, że te parametry są rozróżnialne, tu 'k' tam 'n' to samo powinno być u Was

chichi:

⎧	cos(2x)−cos(2x+2y) = 0
⎩	cos(2y)−cos(2x+2y) = 0

⎧	−2sin(−y)sin(2x+y) = 0
⎩	−2sin(−x)sin(2y+x) = 0

⎧	sin(y)sin(2x+y) = 0
⎩	sin(x)sin(2y+x) = 0

Korzystamy z tego, że: ∀α∊(0,π) (sin(α) > 0)

⎧	sin(2x+y) = 0
⎩	sin(2y+x) = 0

⎧	2x+y = kπ, k∊ℤ
⎩	2y+x = nπ, n∊ℤ

⎧	x = (2/3)kπ−(1/3)nπ
⎩	y = (2/3)nπ−(1/3)kπ

	π
Dla k = 1 ∧ n = 1: x =		= y
	3

	2π
Dla k = 2 ∧ n = 2: x =		= y
	3

	π		π		2π		2π
Zatem punkty stacjonarne to: P1=(		,		) ∨ P2=(		,		)
	3		3		3		3

Wiolla: Tak myślałam o tych k ale nie byłam pewna. Byłam w pracy i nie miała jak odpisać dziękuję wszystkim