Wykaż że dla każdego n>=3 Karol: Wykaż ,że ∀n∊ℕ∧n≥3

1		1		1		3
	+		+ ... +		>
n+1		n+2		2n		5

Próbowałem z indukcji, dowód dla n=3 jest oczywisty, ale nie mam pomysłu co zrobić nierównościa dla n+1 gdzie mi wyszło tak

1		1		1		3
	+		+ ... +		>
n+2		n+3		2n+2		5

jc:

	1		1		1
Sn =		+		+ ... +		,
	n+1		n+2		2n

S₃ > 3/5,

	1		1		1		1		1
Sn − Sn−1 =		+		−		=		−		> 0.
	2n−1		2n		n		2n−1		2n

Dlatego 3/5 <S₃ < S₄ < S₅ < ...

wredulus_pospolitus:

	1		1		1		1		1
L =		+		+ ... +		+		+		>
	n+2		n+3		2n		2n+1		2n+2

	1		1		1		1		1
>		+		+ ... +		+		+		=
	n+2		n+3		2n		2n+2		2n+2

	1		1		1		2
=		+		+ ... +		+		=
	n+2		n+3		2n		2n+2

	1		1		1		1		3
=		+		+ ... +		+		> //z (2) // >		= P
	n+2		n+3		2n		n+1		5

c.n.w.

	1		1
innym sposobem byłoby wykazanie, że ciąg {an} ; an =		+ ... +		jest
	n+1		2n

	3
ciągiem rosnącym (dla n≥3) i wykazać, że a3 >
	5

PW:

1		1		1
	+		+...+		=
n+2		n+3		2n+2

1

1

1

1

1

1

1

= (

+

+

+...+

) +

+

−

>

n+1

n+2

n+3

2n

2n+1

2n+2

n+1

3		1		1		1
	+		+		−
5		2n+1		2n+2		n+1

	1
Dodaliśmy pierwszy wyraz		, żeby skorzystać z założenia indukcyjnego (oczywiście ten
	n+1

wyraz należało na końcu odjąć). Wystarczy teraz pokazać, że suma trzech ostatnich składników jest nieujemna.

1		1		1		1		1		2
	+		−		=		+		−		=
2n+1		2n+2		n+1		2n+1		2n+2		2n+2

1		1		1
	−		=		> 0
2n+1		2n+2		(2n+1)(2n+2)

PW: Znowu za wolny byłem, na szczęście zeznajemy podobnie.