wielomian
Ania K.: Rozwiąż równanie:
2√2x3−6√3x2+9√2x−3√3=0
Pozostałe przykłady rozwiązałam metodą grupowania wyrazów.... w tym nie wychodzi...
2 lis 20:25
chichi:
A no bo zauważ, że po prostu LHS = (
√2x−
√3)
3, aż się prosiło żeby zwinąć
2 lis 20:28
chichi:
A zauważyć prosto po czynniku stojącym przy 'x
3' oraz wyrazie wolnym widać, że to (
√2)
3
oraz (
√3)
3. Następnie sprawdziłem na szybko czy te pozostałe wyrazy się zgadzają, i wsio
2 lis 20:31
Mariusz:
Jest tak jak chichi napisał
Można też wspomnieć że wzorek skróconego mnożenia
(a+b)
3=a
3+b
3+3ab(a+b)
jest podstawą do znajdowania równań trzeciego stopnia
Załóżmy że mamy równanie trzeciego stopnia postaci
a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0=0
Wyraz a
2x
2 można zredukować przedstawiając wielomian a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0
| | a2 | |
w postaci sumy potęg dwumianu (x+ |
| ) |
| | 3a3 | |
Doprowadzimy w ten sposób do równania wielomianowego postaci
y
3+py+q=0
Jeżeli teraz przyjmiemy że y = u+v
to stosując wzór skróconego mnożenia wspomniany na początku wpisu
dostaniemy (u+v)
3=u
3+v
3+3uv(u+v)
Teraz wiedząc że y = u+v możemy porównać współczynniki przy obydwu równaniach
i dostajemy układ równań który łatwo przekształcić w układ równań będący wzorami Vieta
dla równania kwadratowego o pierwiastkach u
3 oraz v
3
3 lis 05:04
Mariusz:
"jest podstawą do znajdowania równań trzeciego stopnia "
ups tutaj zapomniałem jednego słowa, powinno być
"jest podstawą do znajdowania pierwiastków równań trzeciego stopnia "
3 lis 05:31
Ania K.: dziękuje bardzo
3 lis 21:31
chichi:
A na zdrowie
3 lis 21:38
Mariusz:
chichi , gdybyś chciał pokazywać licealiście sposób na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia
to
masz dwa wyjścia
1. Wprowadzić mu podstawy liczb zespolonych i wtedy pokazywać sposób algebraiczny
bez rozważania przypadków
2 Rozbić na przypadki z których jeden wymaga funkcji trygonometrycznych
Przyda się też uzupełnić jego wiadomości o funkcjach
(np funkcja różnowartościowa czy złożenie funkcji)
tak aby móc wprowadzić pojęcie funkcji odwrotnej bo w pewnym momencie
trzeba by w tym podejściu zdefiniować funkcję odwrotną do funkcji trygonometrycznej
(tutaj funkcja trygonometryczna jest okresowa więc
tylko na określonym przedziale jest odwracalna − na tym przedziale gdzie jest różnowartościowa)
Za czasów gdy chodziłem do szkoły to funkcja odwrotna była jeszcze w programie liceum
ale czytałem że podobno ją usunęli z programu
4 lis 03:20
chichi:
@
Mariusz póki co równania 3 stopnia na poziomie liceum nie wymagają tak obszernej wiedzy
do ich rozwiązania. Zazwyczaj wystarczą wzory skróconego mnożenia, metoda grupowania czy
twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych. Licealistom
pokazuje również twierdzenie o wielokrotnym pierwiastku wielomianu wraz z dowodem
4 lis 11:38
Mariusz:
Aby pokazać jak rozwiązać równanie ogólne musiałbyś pokazać
albo zespolone albo funkcję odwrotną no chyba że funkcję odwrotną
przywrócili do programu liceum
Jeżeli funkcję odwrotną przywrócili to sposób z rozbiciem równania trzeciego stopnia
na przypadki byłby łatwiejszy do pokazania bo
wystarczyłoby zdefiniować funkcję odwrotną do cosinusa bądź sinusa
Były takie czasy że całki były w liceum i wtedy to już nawet nie trzeba było
definiować funkcji odwrotnej do cyklometrycznej bo było to w programie
(Ja wprawdzie całki miałem jeszcze w szkole średniej , choć nie w liceum
Tak na dobrą sprawę analiza matematyczna w średnich
do których chodziłem kończyła się na całkach pojedynczych
Co do algebry to w średniej mieliśmy macierze ale już zespolonych nie było)
4 lis 14:25