Dzielenie wielomianu z parametrem Student: Proszę o pomoc, jedyne zadanie z którym nie mogę się uporać. Liczba −2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w(x) = x⁴ + ax³ −9x² + bx + 12. Wyznacz wspólne czynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki tego wielomianu. Byłbym wdzięczny za pełne rozwiązanie. Zazwyczaj łatwiej było mi dzielić schematem Hornera, lecz tutaj pojawia się dwukrotny pierwiastek wielomianu i Horner nie wchodzi w grę. Mam lekkie problemy z dzieleniem wielomianu z parametrem, więc prosiłbym o pełne rozwiązanie. Z góry dziękuję!

wredulus_pospolitus: wiemy zatem, że wielomian w(x) można zapisać w postaci: W(x) = (x+2)²+(x² + cx + d) wymnażasz ... przyrównujesz współczynniki i wyliczasz niewiadome. Będziesz miał 4 równania (dla x³ , x², x , i wyraz wolny) i masz 4 niewiadome. Do dzieła

chichi: W'(x) = 4x³+3ax²−18x+b {W(−2) = 0 {W'(−2) = 0 Wystarczy rozwiązać taki układ równań

chichi: I mamy tylko 2 niewiadome tym sposobem, zamiast 4

Student: @wredulus pospolitus czy ty zastosowałeś wzory Viet'a w wielomianach ?

chichi: To co napisał @wredulus₋pospolitus to nie jest prawda. Jego wielomian jest trójmianem kwadratowym, a my mamy otrzymać wielomian stopnia 4

Student: chichi moge zastosować to dwa razy dla −2 ? Czym jest W'

chichi: Pochodna funkcji W, powinno wyjsc, że a = 0 i b = − 4

Student: Jeśli wykonam taki układ równań to wyjdzie mi: {−8a−2b=8 /: (−1) {−8a−2b=8 {8a+2b=−8 {−8a−2b=8 i w tym momencie mi się wszystko zeruje

chichi: Napisalem Ci o 20:02 czym jest W'(x), raz podstawiasz do wzoru funkcji, raz do wzoru pochodnej i rozwiązujesz ten układ równań

Student: Niestety nie miałem jeszcze pochodnych, ale dziękuję za pomoc

chichi: {−8a−2b−8 = 0 {12a+b+4 = 0 Rozwiąż ten układ

Student: Tylko musiałbym wiedzieć skąd to się wzięło, jutro na sprawdzianie nie będe w stanie zastosować pochodnych

Mila: Wredulus napisał znak (+) zamiast (*) Lepiej z zastosowaniem pochodnej.

mat: W(x)=(x−1)(x−3)(x+2)² =x⁴−9x²−4x+12 a=0 b= −4

chichi: No rozumiem, jeśli nie miałeś pochodnej jeszcze, to zrób sposobem zaproponowanym przez @wredulus₋pospolitus z tym, że powinnobyć tak: W(x) = (x+2)²(x²+cx+d)

I'm back: Faktycznie. Trochę się spieszyłem i kliknąłem nie to co chciałem klilnac

Student: Dziękuje wszystkim, udało się rozwiązać sposobem z (x+2)² * (x²+cx+d) a=0 i b= −4

Mila: x⁴ + ax³ −9x² + bx + 12=(x²+4x+4)*(x²+cx+d) po wymnożeniu z prawej otrzymasz wyraz wolny 4d. 4d=12 stąd d=3 Zadanie uprości się P=(x²+4x+4)*(x²+cx+3)= =x⁴+cx³+3x²+ 4x³+4cx²+12x+4x²+4cx+12= =x⁴+x³*(c+4)+x²*(3+4c+4)+x*(12+4c)+12 c+4=a 4c+7=−9 stąd c=−4 ⇒a=0 12+4c=b stąd b=12−16=−4 gotowe