Indukcja arytmetyka anonim123: Jak to udowodnić? https://zapodaj.net/3920ec59e5e99.jpg.html

anonim123: https://zapodaj.net/c0c12767f7297.jpg.html próbowałam tak

anonim123: Ostatnia linijka na pewno jest źle

anonim123: Może ktoś podać odpowiedź a ja to przeanalizuje

wredulus_pospolitus: wybacz ... ale co Ty w ogóle tutaj wypisujesz

anonim123: Dowodu nie umiem przeprowadzić to były właśnie moje nieudolne próby😏

wredulus_pospolitus: zauważ, że:

n k		n−1 k−1		n k−1
	=		+

Zatem:

	n+1 k		n+1 0		n+1 n+1		n+1 k
∑k=0 n+1		k =		*0 +		*(n+1) + ∑k=1 n		k =

	n+1 0		n+1 n+1		n k−1		n k
=		*0 +		*(n+1) + ∑k=1 n (		+		)k =

	n k−1		n k
= 0 + (n+1) + ∑k=1 n		k + ∑k=1 n		k = // z (2) // =

	n k−1
= 1 + n + ∑k=1 n		k + n*2n−1 =

// j = k−1 //

	n j
= 1 + n + n*2n−1 + ∑j=0 n−1		(j+1) =

	n n		n n		n j		n j
=		+		*n + n*2n−1 + ∑j=0 n−1		*j + ∑j=0 n−1

	n n		n j		n j
=		*n + n*2n−1 + ∑j=0 n−1		*j + ∑j=0 n		=

	n j		n j
= n*2n−1 + ∑j=0 n		*j + ∑j=0 n		=

	n j
= // z (2) // = n*2n−1 + n*2n−1 + ∑j=0 n		=

= 2*n*2ⁿ⁻¹ + 2ⁿ = n*2ⁿ + 2ⁿ = (n+1)*2ⁿ

wredulus_pospolitus: poprawka ... miało być:

n k		n−1 k−1		n−1 k
	=		+

anonim123: A z czego to wynika z 19:02 to muszę zapamiętać?

I'm back: Własności dwumianu Newtona. W sumie jedyna do zapamiętania

wredulus_pospolitus:

	n−1 k−1		n−1 k		(n−1)!		(n−1)!
P =		+		=		+		=
					(k−1)!*(n−k)!		k!*(n−k−1)!

	(n−1)!		1		1
=		* [		+		] =
	(k−1)!*(n−k−1)!		(n−k)		k

	(n−1)!		k + (n−k)
=		*		=
	(k−1)!*(n−k−1)!		(n−k)*k

	(n−1)!		n		n!		n k
=		*		=		=		= L
	(k−1)!*(n−k−1)!		(n−k)*k		k!*(n−k)!

anonim123: Dzięki 😄

anonim123: Czy tutaj jest błąd w zadaniu bo prawa strona nie równa się lewej? https://zapodaj.net/0c103d7631bde.jpg.html

wredulus_pospolitus: może masz podane, że dla n>1 to ma być spełnione

anonim123: Nie nie ma podane a mam pytanie kiedy do dowodu stosować definicję dwumianu Newtona A kiedy indukcję od czego to zależy?

anonim123: ?

ICSP: https://zapodaj.net/e79ac26c73086.jpg.html

anonim123: Czyli?

anonim123: A skąd mam wiedzieć co podstawić pod x i y mam patrzeć na drugą stronę Równania i to dobierać?

ICSP: Pod x,y możesz podstawić dowolne liczby rzeczywiste.

anonim123: A pytanie z 20:15?

ICSP: Jeżeli masz coś udowodnić to nie ma różnicy za pomocą którego narzędzia (indukcja/ dwumian Newtona, który de facto został udowodniony przez Ciebie za pomocą indukcji) skorzystasz. Ważne jest aby dowód został przeprowadzony poprawnie. Jeżeli już musiałbym wskazać jakąś różnicę między dowodem przeprowadzonym za pomocą indukcji a dowodem za pomocą dwumianu Newtona to wypada wspomnieć o tym, ze indukcja jest ogólniejsza.

anonim123: Dzięki 😁

kerajs: ''anonim123: A pytanie z 20:15?'' Praktyka, praktyka, praktyka, ... a potem wszystko będzie oczywiste. Parafrazując : '' Jest tych zadań nie tak wiele, ze czterysta coś tysięcy. Więc się krótko będzie uczył. Sto lat może, lecz nie więcej''

anonim123: Dziękuję 😀

Mariusz: "Jeżeli masz coś udowodnić to nie ma różnicy za pomocą którego narzędzia ... " No fajnie tylko że jeżeli chcą od niego indukcji to czego innego mogą mu nie uznać To że chcą od niego indukcji widać w nagłówku wątku a także wynika to z tego zdjęcia które przesłał

anonim123: zapomniałam dodać, że niekoniecznie chcieli tutaj indukcję, ale ja chciałam tak zrobić.

anonim123:

n k

n−1 k−1

n−1 k

n k

n k+1

n+1 k+1

A

=

+

to to samo co

+

=

i dlaczego? bo mi

się wydaje że to to samo

I'm back: Do pierwszego wzoru podstaw: n = n*+1 I powstaje drugi wzor

I'm back: No i także k = k* + 1

anonim123: dzięki

anonim123: A w jaki sposób najlepiej określić co w takich przypadkach podstawić tutaj za j?😄

anonim123: ?

I'm back: Za jakie 'j'? O czym Ty do nas piszesz?

anonim123: Bo zakładamy że j=k−1 z 1 listopada 19:01 i w jaki sposób w tego typu zadaniach określić co za to j podstawić Tutaj k−1

I'm back: Szczerze − − − podstawienie j = k+1 zrobiłem tylko i wyłącznie dla Ciebie, abyś mogła zobaczyć dlaczego tak a nie inaczej dzielę sumę oraz co z tego zostaje (na dobrą sprawę − nie musiałem dzielić tej sumy na dwie). Albo jak wolisz − przeindeksowalem ta sumę (podstawiłem j = k+1) w tym celu aby miec:

	n j		n k−1
1)		a nie brzydkie w zapisie

2) aby mieć sumę od j=0 a nie od k=1 (bo taka suma była w tezie)

I'm back: Dziwię się natomiast dlaczego nie zadałaś innego pytania "dlaczego" − pytania dotyczącego dlaczego w pierwszej linijce 'wyjmuje' z sumy element dla k=0 oraz dla k=n+1. Jak teraz na to patrzę to niepotrzebnie wyjmowałem element dla k=n+1, można było go zostawić w sumie, szybciej by poszło.

anonim123: dzięki