trygonometria gerald: Jak rozwiazac taki uklad rownan, probowalem pare razy juz i nic mi z tego nie wychodzi pomocyyy cosx−sin(x−y)=0 oraz sin(x−y)−siny=0

gerald: a i 0<x<π/2 oraz 0<y<π/2 ma byc takie ograniczenie

Szkolniak:

⎧	cos(x)−sin(x−y)=0 (1)
⎩	sin(x−y)−sin(y)=0 (2)

Z (2):

	x−y−y		x−y+y		x−2y		x
sin(x−y)−sin(y)=0 ⇔ 2sin		cos		=0 ⇔ sin		cos		=0
	2		2		2		2

	x−2y		x		x−2y		x		π
sin		=0 v cos		=0 ⇔		=kπ v		=		+kπ ⇔ x−2y=2kπ v x=π+2kπ
	2		2		2		2		2

Z (1) analogicznie: π−4x+2y=4kπ v −2y=π+4kπ Z (1) i (2):

	⎧	x=2y+2kπ v x=π+2kπ
	⎩	4x=−4kπ+π+2y v −2y=π+4kπ	, k∊ℤ

Teraz sprawdzamy jakie całkowite wartości może przyjmować 'k':

	π		π		1		1
0<x<		⇔ 0<π(2k+1)<		⇔ −		<k<−		∧ k∊ℤ → k∊∅
	2		2		2		4

oraz z '−2y=π+4kπ' to samo, więc pozostaje nam układ równań:

⎧	x=2y+2kπ
⎩	4x=−4kπ+π+2y	, k∊ℤ

Wstawiamy 'x' do drugiego równania: 4x=−4kπ+π+2y 4(2y+2kπ)=−4kπ+π+2y 8(y+kπ)=−4kπ+π+2y

	π(1−12k)
8y+8kπ=−4kπ+π+2y → y=
	6

Ta sama sytuacja, tzn. sprawdzamy jakie całkowite wartości może przyjmować 'k':

	π(1−12k)		π
0<		<
	6		2

−1<−12k<2 1>12k>−2

	1		1
		>k>−		→ k=0
	12		6

Układ równań ma teraz postać:

⎧	x=2y
⎩	4x=+π+2y

	π		π
skąd (x,y)=(		,		)
	3		6

PW: A co powiesz Szkolniaku na takie nietypowe podejście do rozwiązania? Z (1) (1') sin(x − y) = cosx, z (2) (2') sin(x − y) = siny, jeżeli więc rozwiązanie istnieje, to (3) cosx = siny, a tak się dzieje, gdy x i y są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym, czyli

	π
(4) x + y =		,
	2

przy czym x > y (bo z badanego układu równań widać, że sin(x − y) > 0). Wobec tego

	π
x − y =		− 2y,
	2

co podstawione do (2') daje

	π
sin(		− 2y) = siny
	2

cos(2y) = siny 1 − 2sin²y = siny 2sin²y + siny − 1 = 0

	1
siny =
	2

(bierzemy tylko dodatnie rozwiązanie równania kwadratowego)

	π
y =		,
	6

skąd po zastosowaniu (4)

	π
x =		.
	3

gerald: Dziękuje za rozwiązania a skąd wiemy że tak się dzieje tylko gdy sa to katy trojkata prostokatnego?

PW: Z trygonometrii (podałeś założenia dla x i y). Jeżeli nie podoba Ci się to stwierdzenie, to je skreśl.

gerald: A moze takie uzasadnienie jest poprawne? cosx = siny sin(π/2−x)=siny π/2−x=y (porownuje sam argument bo funkcja sinus jest roznowartosciowa na przedziale (0,π/2) x+y=π/2 I dalej tak jak pan to robi?

PW: No pewnie, to jest właśnie "z trygonometrii". Mówiąc o trójkącie prostokątnym chciałem tylko podpowiedzieć intuicyjne rozumienie, dla ubarwienia opowieści

gerald: Wiesz co PW tak sie teraz zastanawiam czy mozna skrocic jeszcze to co napisales że tutaj sin(π/2−2y)=siny znow nie zastosowac tej roznowartosciowosci i wtedy π/2−2y=y to wyjdzie ze y=π/6 czyli tak jak powinno wyjsc wtedy omijamy to rownanie kwadratowe ktore napisales tylko zastanawiam sie czy tak mozemy? Moglbys wytlumaczyc czy tak lub nie i dlaczego?

PW:

	π
No tak, jesteśmy w przedziale (0,		). Zadziałałem schematycznie.
	2

Dla spokoju sumienia muszę jednak dodać, że rozwiązanie wymaga sprawdzenia. Rozumowanie prowadzone było przy założeniu "jeżeli rozwiązanie istnieje". Mamy więc dowód implikacji:

	π		π
Jeżeli rozwiązanie istnieje, to jest nim para liczb (		,		).
	3		6

Sprawdzenie jest więc konieczne. Przy rozwiązywaniu układów równań liniowych nie sprawdzamy, bo wiemy że rozwiązanie istnieje (jedno lub nieskończenie wiele) lub nie istnieje, i wtedy przy podstawianiu to "samo wychodzi". Rozwiązywany układ nie jest układem równań liniowych, a więc sprawdzenie jest moim zdaniem konieczne (zrobiłem to "w pamięci", ale nie napisałem − wystarczy dodać "jak łatwo sprawdzić wyznaczona para jest rozwiazaniem").