proszę o rozwiązanie anna:

	a		b
Wykaż, że jeżeli a > b ≥ 1 , to		<
	3+a3		3 + b4

wredulus_pospolitus: trudno udowodnić coś co nie jest prawdą. Niech a=1.1 ; b = 1

	1.1		1.1		1
L =		=		≈ 0.2539 > 0.25 =		= P
	3 + 1.331		4.331		3+14

ICSP: Niech b = a − 1, wtedy a > b oraz:

a		a − 1
	<
3 + a3		3 + (a−1)4

a(3 + (a−1)⁴) < (a−1)(3 + a³) Funkcja po lewej stronie jest wielomianem stopnia V, więc od pewnego miejsca rośnie szybciej niż wielomian stopnia IV Co oznacza, że nierówność nie zachodzi dla dowolnego a > 1, zatem twierdzenie nie jest prawdziwe.

Saizou :

	x
Monotoniczność funkcji f(x) =		i sprawa załatwiona
	3+x3

chichi: @Saizou no też przypuszczałem taki wariant, ale również nie jest to prawdą dla a>b≥1..

chichi: Sprawdziłem monotoniczność owej funkcji i okazało się, że jest ona malejąca

	3√12
dla x >		≈ 1.4471, dlatego też coś nie haloo
	2

chichi:

	3√12
zjadłem jedynkę..		≈ 1.14471
	2

anna: bardzo przepraszam chichi saizou ICSP wredulus_pospolitus za pracę którą wykonali ale moja to wina bo treść jest błędna

	a		b
ma być wykaż ze jeżeli a > b ≥ 1 , to		<
	3 + a4		3 + b4

I'm back: Mnozysz na krzyż, wszystko na jedną stronę, Zastosuj wzór skróconego mnozenia dla a⁴ − b⁴, Wyciagnij przed nawias (a−b), Zauważ że (a²+b²)(a+b) > 2*2 = 4 > 3 Wniosek i koniec

I'm back: Poprawka. Wzór skróconego mnozenia będzie dla a³−b³

PW: Zastosujmy głupią sztuczkę, która w takich zadaniach bywa skuteczna. Niech zgodnie z założeniami a = kb, k > 1 Nierówność ma postać

	kb		b
		<		dla k > 1 i b ≥ 1.
	3 + k4b4		3 + b4

Przekształcamy ją równoważnie mając na uwadze założenia dla b i dla k:

	k		1
		<
	3 + k4b4		3 + b4

3k + kb⁴ < 3 + k⁴b⁴ 3(k − 1) < b⁴k(k³ − 1) 3(k − 1) < b⁴k(k − 1)(k² + k+ 1) 3 < b⁴k(k² + k + 1) Ostatnia nierówność jest oczywista, gdyż b⁴ ≥1, k > 1 i (k² + k + 1) > 3.

chichi:

	x		3−3x4
f(x) =		⇒ f'(x) =
	x4+3		(x4+3)2

	3−3x4
f'(x) < 0 ⇔		< 0 ⇔ 3−3x4 < 0 ⇔ x ∊ (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
	(x4+3)2

Zatem funkcja f jest w szczególności malejąca na przedziale [1, +∞), zatem mamy, że:

	b		a
b < a ⇒		>		□ (wprost z definicji funkcji malejącej)
	3+b4		3+ba

anna: dziękuję

Marta: A z jakiego podrecznika jest to zadanie?

anna: zadanie jest z matury próbnej rozszerzonej 2021 zestaw 9 zadanie 7