Nierówność wykładnicza Maja: Cześć, pomógłby mi ktoś rozwiązać taką nierówność: 0,1>0,8ⁿ ?

Szkolniak: 0,1>0,8ⁿ, n∊ℛ

1		8
	>(		)n
10		10

1		4
	>(		)n
10		5

1		5
	>(		)−n
10		4

	1		5
log5/4(		)>−n, bo		>1
	10		4

	1
n>−log5/4(		)
	10

n>log_5/4(10) → n∊(log_5/4(10);+∞)

Maja: Dziękuję

chichi: Zastanawia mnie tylko to przekształcenie z (2) na (3), po co ono? Można obłożyć stronami przecież log_4/5

wredulus_pospolitus: zapewne ze względu na nawyk, aby w nierówościach stosować logarytmy o podstawie większej niż 1, aby później nie walnąć się w nierówności

chichi: A możliwe, ja pierwsze słyszę o takim nawyku stąd moje zdziwienie, mnie takiego nawyku nie uczono

PW: A ja uczyłem (wzorem moich nauczycieli), żeby rozwiązywać problemy możliwie najprościej. Jest oczywiste, że funkcja f(n) = 0,8ⁿ, n∊N jest malejąca. Oznacza to, że jeśli dla pewnej k∊N osiągnie wartość mniejszą od 0,1, to dla wszystkich n>k wartości f(n) też będą mniejsze od 0,1. Sprawdzamy po kolei: f(0) > f(1) > f(2) > f(3) > ... > 0,8¹⁰ > 0,107, zaś 0,8¹¹ < 0,086 < 0,1. Odpowiedź: 0,1 > 0,8ⁿ dla n ≥ 11. Proste obliczenia kalkulatorem, nie trzeba znać logarytmów, odpowiedź jest zrozumiała i taka jakiej oczekiwano (odpowiedź z logarytmem o podstawie ⁵₄ z liczby 10 nie wskazuje liczby naturalnej).

chichi: @PW intuicyja podpowiada, że owy 'n' powinien być ze zbioru liczb naturalnych, natomiast autor nie wspomniał z jakiego zbioru ono pochodzi. @Szkolniak zaznaczył, że u niego on pochodzi ze zbioru liczb rzeczywistych, log_5/4(10) z pewnością jest liczbą rzeczywistą

PW: I zarobił buziaka od Mai, która nam jutro poda dziedzinę nierówności

chichi: Ojj coś czuje, że ten buziak był na pożegnanie i już Mai nie zobaczymy, przynajmniej w tym wątku

Maja: Oczywiście n∊ℕ

chichi: To jestem zwolennikiem rozwiązania zaprezentowanego przez @PW. Fajne, a zarazem proste P. S. Podawaj następnym razem pełne polecenia w celu uniknięcia takich nieścisłości