Wykaż, że nie istnieje granica ciągu a_n, n∊R Kck:

	nπ
Wykaż, że nie istnieje granica ciągu an, n∊N, gdy an = sin(		). Nie wiem nawet jak
	3

zacząć to zadanie. Jakie są strategie i sposoby rozwiązywania zadania w którym trzeba udowodnić, że nie istnieje granica ciągu?

Sushi: Wypisz kilka początkowych wyrazów ciągu

Kck:

	√3		√3		√3		√3
a1 =		, a2 =		, a3 = 0, a4 = −		, a5 = −		, a6 = 0
	2		2		2		2

wredulus_pospolitus: nieistnienie granicy ciągu wykazujemy najczęściej poprzez wybranie dwóch podciągów tegoż ciągu, które będą zbieżne (lub rozbieżne) do różnych granic w tym przypadku polecam wybrać: n = 3k jako jeden podciąg n = 3k + 1 jako drugi podciąg

wredulus_pospolitus: tfu tfu n = 6k i n = 6k+1 miało być

Sushi: Wypisałeś do a₆ i nie widac, więc trzeba wypisać jeszcze kilka kolejnych i dopiero zauważyć

Kck:

	1−n
Robiłem inny przykład: an = (		)n. I próbowałem rozwiązać go wybierając podciąg bn
	n

= a_2n i c_n = a_2n+1. Ale w przypadku podciągu b_n nie mogę obliczyć granicy. Jaki z tego wniosek, czy może robię coś źle? I w jaki sposób wybierane są podciągi których mam użyć, skąd mam wiedzieć który wybrać?

wredulus_pospolitus:

	1−n		1
(		)n = (−1 +		)n
	n		n

nie wiem czy jest sens tutaj w ogóle obliczać granice podciągów ... wystarczy zauważyć, że wszystkie wyrazy jednego podciągu (pomijając pierwszy) będą ujemne, a drugiego będą dodatnie. Dodatkowo wykazać monotoniczność obu podciągów i po sprawie.

Kck: Wszystkie wyrazu jednego podciągu będą ujemne a drugiego dodatnie? Nie widzę tego.

wredulus_pospolitus:

	1
(−1 +		) < 0 ... prawda ? (dla n>1 oczywiście) ... prawda.
	n

więc

	1
(−1 +		)parzystej potęgi > 0
	n

	1
(−1 +		)nieparzystej potęgi < 0
	n

prawda prawda.

wredulus_pospolitus: można też zauważyć, że:

	1		1		1
a2n = (−1 +		)2n = (−1)2n*(−1 +		)2n = (1 −		)2n
	2n		2n		2n

<−−− granicę tego potrafisz policzyć

	1		1
a2n+1 = (−1 +		)2n+1 = (−1)*(−1)2n+1*(−1 +		)2n+1 =
	2n+1		2n+1

	1
= −(1 −		)2n+1 <−−− granicę tego potrafisz policzyć
	2n+1

Kck: Dobra, teraz widzę. A po co jeszcze wykazywać monotoniczność. Strasznie trudno się połapać co, kiedy i dlaczego użyć. Tak samo nie wiem dlaczego wyżej n = 6k i n = 6k+1 a nie np. n = 2k i n = 2k+1.

wredulus_pospolitus:

	1
bo ciąg an = (−		)n także ma wyrazy 'na przemienne' a pomimo to posiada granicę równą 0
	n

(baaa ... podciągi także są monotoniczne ... tyle że ujemny jest rosnący ... a w Twoim przypadku jest malejący −−−> co uniemożliwia mu zbieganie do 0)

Kck: I tak w sumie to tych granic nie potrafię policzyć... Wklepywałem to w kalkulator i też nie bardzo chce obliczyć.

Sushi: Zobacz jaki masz okres, wtedy zobaczysz dlaczego masz n= 6k

wredulus_pospolitus: Których granic nie umiesz policzyć Tych z 20:03

Kck: Tak

wredulus_pospolitus: granice Eulera się kłaniają i proszą o skorzystanie

Kck: Aa no to takowych chyba nie miałem jeszcze przyjemności poznać.