proszę o rozwiązanie
anna: Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y większej od 1
prawdziwa jest
nierówność 2x2 + 4y2 + 1 > 4xy + 3y .
nie wiem jak pogrupować
17 paź 19:09
ICSP: Proponuję wprost:
L =2x2+4y2+1 = 2(x−y)2 + 4xy + 2y2 + 1 = 2(x−y)2 + 4xy + (y−1)(2y−1) + 3y > 4xy + 3y = P
17 paź 19:30
ABC:
wyciągnę ci królika z kapelusza , to nie jedyny możliwy sposób
mnożymy przez 8 stronami i przenosimy na jedną stronę
16x
2+32y
2−32xy−24y+8>0
dodajemy do obu stron 1 , rozdzielamy 32y
2 na 16y
2+16y
2 i grupujemy
16x
2−32xy+16y
2+16y
2−24y+9>1
zwijamy wzory skróconego mnożenia
(4x−4y)
2+(4y−3)
2>1
i wykorzystujemy fakt że y>1, więc 4y−3>1
17 paź 19:35
PW: 2(x2 − 2xy + y2) + 2y2 − 3y +1 > 0
2(x − y)2 + 2(y2 − 2y + 1) + y −1 > 0
2(x − y)2 + 2(y − 1)2 + y − 1 > 0
17 paź 19:39
Szkolniak: 2x2+4y2+1−4xy−3y>0
2x2+4y2−4xy+(y−1)−4y+2>0
2x2−4xy+2y2+2y2−4y+2+(y−1)>0
2(x−y)2+2(y−1)2+(y−1)>0
17 paź 19:42
Szkolniak: Zdublowałem wpis PW, zobaczyłem dopiero po wysłaniu swojego.
17 paź 19:45
wredulus_pospolitus:
bez wyciągania królika z kapelusza:
1) przenosimy na jedną stronę:
2x2 + 4y2 + 1 − 4xy − 3y > 0
2) Chcemy skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia, w pierwszej kolejności chcemy się 'pozbyć'
problemu z 4xy.
2x2 − 4xy + 2y2 + 2y2 + 1 − 3y > 0
2(x2 − 2xy + y2) + 2y2 − 3y + 1 > 0
2(x−y)2 + 2y2 − 3y + 1 > 0
3) Chcemy znowu skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia, tym razem naszym łupem staje się
2y2.
2(x−y)2 + 2y2 − 4y + y + 2 − 1 > 0
2(x−y)2 + 2(y2 − 2y + 1) + y − 1 > 0
2(x−y)2 + 2(y − 1)2 + (y − 1) > 0
zauważamy, że:
a) (x−y)2 ≥ 0
b) (y−1)2 > 0 (bo y>1)
c) (y−1) > 0 (bo y>1)
więc całość > 0 (bo y>1)
17 paź 19:55
anna: dziękuję bardzo wszystkim
17 paź 20:34