Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej Jasiek: ∀n∊N 1*2*...*n≥√nⁿ 1) n=1 ⇒ 1≥1 2) zał: n=k ∀k∊N 1*2*...*k≥√k^k T: 1*2*...*(k+1)≥√(k+1)^k+1 1*2*...*k*(k+1)≥√k^k * (k+1) ⇒ √k^k * (k+1)≥√(k+1)^k+1 k^k * (k+1)² ≥ (k+1)^k+1 k^k ≥ (k+1)^k−1 Co robię źle albo jak to dalej rozwiązać?

I'm back: k ≥ (1 + (1/k))^k−1 Zauwazmy ze (1 + (1/k))^k−1 < e¹ < 3 Natomiast dla k=2 możemy sobie sprawdzić czy nierówność zachodzi (oczywiście zachodzi)

luui: Z nierówności, które pokazałeś, wcale nie wynika, że: √k^k * (k+1) ≥ √(k+1)^k+1 // chociaż jest to prawdziwe Dowieść masz: (k+1)! ≥ √(k+1)^k+1 Przekształcając powyższe: k! (k+1) ≥ √(k+1)^k √k+1 k! √k+1 ≥ √(k+1)^k Na mocy założenia indukcyjnego k! ≥ √k^k : k! √k+1 ≥ √k^k√k+1 = √k^k(k+1) ≥ √k^k(1+1/k)^k = = √k^k(k+1)^k/k^k = √(k+1)^k

Jasiek: luui bardzo dziękuję