Oblicz M: Oblicz n=4 wyraz ciągu opisanego rekurencyjnego f₀=3, f_n=2f_n−1+4

I'm back: Serio? Analogicznie do poprzedniego. Ewentualnie baw się w wyznaczenie wzoru ogolnego

M: f₄=2f₃+4=2(2f₂+4)+4=2*2(2f₁+4)+4+4=2*2*2(2f₀+4)+4+4+4= to tak ma być rozpisane?

Mila: wzór jawny:

	1−2n
f(n)=2n*3+		*4
	1−2

f(n)=7*2ⁿ−4 Licz na piechotę i sprawdź z podanym wzorem.

Mariusz: Co do wzoru jawnego to zdefiniujmy sobie najpierw funkcję której współczynniki rozwinięcia w szereg potęgowy są wyrazami ciągu który ci zadano F(x)=∑_n=0^∞f_nxⁿ Rekurencja zachodzi dla n≥1 więc zaczynamy sumować od n=1 ∑_n=1^∞f_nxⁿ=∑_n=1^∞2f_n−1xⁿ+∑_n=1^∞4xⁿ ∑_n=1^∞f_nxⁿ=2x(∑_n=1^∞f_n−1xⁿ⁻¹)+4(∑_n=1^∞xⁿ)

	4x
∑n=1∞fnxn=2x(∑n=0∞fnxn)+
	1−x

	4x
∑n=0∞fnxn − 3 = 2x(∑n=0∞fnxn)+
	1−x

	4x
(1−2x)(∑n=0∞fnxn) = 3 +
	1−x

	3+x
(1−2x)F(x)=
	1−x

	3+x
F(x)=
	(1−2x)(1−x)

3+x		A		B
	=		+
(1−2x)(1−x)		1−2x		1−x

A(1−x)+B(1−2x)=3+x A +B = 3 −A−2B = 1 −B = 4 A−4=3 A=7 B=−4

	7		4
F(x)=		−
	1−2x		1−x

F(x)=7(∑_n=0^∞2ⁿxⁿ) − 4(∑_n=0^∞xⁿ) F(x)=∑_n=0^∞(7*2ⁿ − 4)*xⁿ f_n = 7*2ⁿ − 4